第二三节 数列函数的极限

第二节数列的极限数列的极限例如,,16,8,4,2,,81,41,21}2{n}21{n一、数列的定义定义:按自然数编号依次排列的一列数称为数列.其中的每个数称为数列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn}.)1(,,,,21nxxx;,2n;,21n,,1,1,1,1})1{(1n,43,34,21,2})1({1nnn注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx2.数列可以看作自变量是正整数n的函数).(nfxnnx1x4x2x3x;,)1(1n;,)1(1nnn二、极限思想的引入割圆术(刘徽公元3世纪)正内接六边形、正十二边形，……，的面积构成了一个数列：...,...,,,321nAAAAS圆的面积在上面的例子中，随着n的增大，正多边形的面积与圆面积的差别越来越小。当n无限增大时，正多边形的面积无限接近于圆面积S。;,)1(,,1,1,11n;,)1(,,34,21,21nnn一般地，如果当n无限增大时（即），n对应的nx无限接近于某一个确定的数值a，那么这个数值a就称为数列nx的极限。,,16,8,4,2;,2n,,81,41,21;,21n01的变化趋势，例：观察数列}1)1{(nn2141031151.0limnnx猜出数列的极限为数列的有界性定义:对数列nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.例如,;1nnxn数列.2nnx数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界定理1（极限的唯一性）数列{xn}的极限是唯一的。定理2（有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。注意：数列有界不一定收敛。例如：小结数列:研究其变化规律数列极限:极限思想、几何意义收敛数列的性质:有界性唯一性第三节函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限1，数列极限是函数极限的一种特例，因为数列可以看作自变量为自然数的函数：)(nfxn数列极限就是当自变量n无限增大时所对应的函数值xn的极限。anfxNnnnn)(limlim当自变量不取正整数而是取实数趋于无穷大时，就是函数极限形式。)()()(limxAxfAxfx当或2、定义axfx无限接近于常数时，当)(3、另外两种情形：(自变量只向一个方向无限增大)函数)(xf当)(xx或时的极限,记作AxfAxfxx)(lim)(lim或Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx且定理：二、自变量趋向有限值时函数的极限Axfxx无限接近于常数时，当)(0)()()(lim00xxAxfAxfxx当或定义：例1).(,lim0为常数CCxx例2xxx0limC0x左、右极限(自变量分别从左、右两个方向逼近于x0)Axfxx)(lim0.)(lim)(lim0000AxfAxfxxxx且定理：AxfAxfxxxx)(lim)(lim0000或Axf)0(0Axf)0(0例5函数当x0时的极限不存在010001)(xxxxxxf这是因为1)1(lim)(lim00xxfxx1)1(lim)(lim00xxfxx00limxxf(x)00limxxf(x)11yx1yx1