二项分布及其应用(理)

第十二章第七节二项分布及其应用(理)第十二章点击考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3.能解决一些简单的实际问题.第十二章关注热点1.相互独立事件、n次独立重复试验的概率及条件概率是高考重点考查的内容．2.三种题型均有可能出现，在解答题中常和分布列的有关知识结合在一起考查，属中档题目.第十二章1．条件概率及其性质(1)条件概率的定义设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．PABPA第十二章(3)条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即.②如果B和C是两个互斥事件，即P(B∪C|A)＝．(2)条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P(A|B)＝nABnB.0P(B|A)1P(B|A)＋P(C|A)第十二章2．事件的相互独立性设A，B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．P(A)P(B)第十二章1．如何判断事件是否相互独立？提示：(1)利用定义：事件A、B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)．(2)利用性质：A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．第十二章(3)具体背景下：①有放回地摸球，每次摸球结果是相互独立的．②当产品数量很大时，不放回抽样也可近似看作独立重复试验．第十二章3．独立重复试验(1)在条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(2)如果事件A与B相互独立，那么与，A与，与也都相互独立．相同ABBAB第十二章4．二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生k的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率．Cnkpk(1－p)n－kX～B(n，p)第十二章2．如何判断一个试验是不是独立重复试验？提示：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．第十二章3．如何判断一个随机变量是否服从二项分布？提示：(1)这个随机变量是不是n次独立重复试验中某事件发生的次数．(2)这个事件在每次试验中发生的概率是不是确定的．第十二章1．已知P(AB)＝320，P(A)＝35，则P(B|A)等于()A.950B.12C.910D.14解析：P(B|A)＝PABPA＝32035＝320×53＝14.答案：D第十二章2．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.49B.29C.427D.227解析：所求概率P＝C31·(13)1·(1－13)3－1＝49.答案：A第十二章3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.88解析：至少有一人被录取的概率P＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.4×0.3＝1－0.12＝0.88.答案：D第十二章4．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________．解析：P＝C53×(0.80)3×(0.20)2＋C54×(0.80)4×0.20＋(0.80)5≈0.94.答案：0.94第十二章5．有1道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率为13，2人试图独立地在半小时内解决它．则2人都未解决的概率为____________，问题得到解决的概率为________．第十二章解析：设“半小时内甲独立解决该问题”为事件A，“半小时内乙独立解决该问题”为事件B，那么两人都未解决该问题就是事件AB，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－12)×(1－13)＝13.第十二章“问题得到解决”与“问题没得到解决”是对立事件，∴1－P(AB)＝1－13＝23.答案：1323第十二章抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．第十二章【思路导引】(1)利用古典概型的概率公式求解．(2)代入条件概率公式求解．【解析】(1)①P(A)＝26＝13.②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．∴P(B)＝1036＝518.第十二章③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个．故P(AB)＝536.(2)由(1)知P(B|A)＝PABPA＝53613＝512.第十二章提醒：在等可能事件的问题中，求条件概率第二种方法更易理解．【方法探究】条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PABPA.这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.第十二章1．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.第十二章(2009·全国卷Ⅰ)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及数学期望．第十二章【思路导引】(1)甲获得这次比赛胜利当且仅当甲先胜2局故分三类．(2)X的取值为2、3.【解析】记Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局已获胜，j＝3,4,5.(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5，第十二章由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.第十二章(2)X的可能取值为2,3.由于各局比赛结果相互独立，所以P(X＝2)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52，P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.第十二章X的分布列为E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.X23P0.520.48第十二章【方法探究】(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．第十二章(2)已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则有事件表示概率A、B同时发生ABP(A)P(B)A、B都不发生ABP(A)P(B)A、B恰有一个发生(AB)∪(AB)P(A)P(B)＋P(A)P(B)第十二章事件表示概率A、B中至少有一个发生(AB)∪(AB)∪(AB)P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)A、B中至多有一个发生(AB)∪(AB)∪(AB)P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)第十二章2．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率(注：结果可用分数表示)．第十二章解析：(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25，P(A4)＝15，故该选手进入第四轮才被淘汰的概率P＝P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝45×35×25×45＝96625.第十二章(2)该选手至多进入第三轮考核的概率P′＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝15＋45×25＋45×35×35＝101125.第十二章为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．第十二章(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．【思路导引】(1)3名工人选择的项目所属类别互不相同的情况有A33种．在每种情况下，每名工人做某一个基础设施工程项目的概率为12，做某一个民生工程项目的概率为13，做某一个产业建设工程项目的概率为16，并且他们相互独立．第十二章(2)寻找ξ与选择民生工程项目的人数η的关系，据η服从二项分布，可求ξ的分布列．【解析】记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，P(Ck)＝16.第十二章(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×12×13×16＝16.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B(3，13)，且ξ＝3－η，第十二章所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C33(13)3＝127，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C32(13)2(23)＝29，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C31(13)(23)2＝49，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C30(23)3＝827.第十二章故ξ的分布列是ξ0123P1272949827第十二章法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.由已知：D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝12＋16＝23，所以ξ～B(3，23)，第十二章即P(ξ＝k)＝C3k(23)k(13)3－k，k＝0,1,2,3.故ξ的分布列是ξ0123P1272949827第十二章【方法探究】(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．第十二章(2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．第十二章3．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留