矩形的性质与判定

矩形——2.5.1矩形的性质观察在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？图2-41这些四边形的四个角都是直角.在一个平行四边形中，只要有一个角是直角，那么其他三个角都是直角.我发现这些长方形的对边平行且相等，因此，它们是平行四边形.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形.平行四边形矩形有一个角是直角结论矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分.可以知道：结论矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.由于矩形是平行四边形，因此如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角线AC与DB相等吗？动脑筋图2-42图2-42如图，四边形ABCD是矩形，于是有AB=DC，∠CBA=∠BCD=90°，BC=CB.因此△CBA≌△BCD.(SAS)从而AC=BD.即矩形的对角线相等.图2-42结论矩形的对角线相等.由此得到矩形的性质：如图2-43，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC=4cm，∠AOB=60°.求BC的长.例1图2-43解∵□ABCD是矩形，1===2cm.2OAOBAC从而∴△AOB是等边三角形.∴AB=OA=2cm.又∠AOB=60°，∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，BCACAB.22224223(cm)图2-43解∵□ABCD是矩形，1===2cm.2OAOBAC从而在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？图2-44做一做如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.BCDAOFE过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC，AD相交于点E，F.由于，因此△OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.11===22OBBDACOC由于AD∥BC，因此EF⊥AD.同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.BCDAOFE类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.BCDAOFEMN结论矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.由此得到：已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩形的各边长.练习1.答：矩形的各边长分别为1cm和.3cm2.如图，四边形ABCD为矩形，试利用矩形的性质说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.证明∵四边形ABCD是矩形，从而OA=OC，OB=OD.(矩形的对角线相等.)（矩形的对角线互相平分.）又AC=BD，∴OB=OA=OCAC1=2BD1=2AC.1=2中考试题例如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为cm.8解析由矩形性质及∠AOB=60°，可得∠ACB=30°.在Rt△ABC中，∵AB=4，∴AC=2AB=8cm.矩形——矩形的判定动脑筋矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？如图2-46，四边形ABCD的四个角都是直角.由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD是平行四边形.所以□ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的四边形是矩形.图2-46结论三个角是直角的四边形是矩形.三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也是直角，由此得到：四边形中只有两个角是直角，我想到了下边的图形：动脑筋从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC=2cm，OB=OD=2cm.连接AB，BC，CD，DA.则四边形ABCD是矩形，且它的对角线长度为4cm，如图2-47.这样的矩形有无穷多个.2cm2cm图2-47你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？我们来进行证明.在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，因此△ABC≌△DCB.(SSS)从而∠ABC=∠DCB.又∠ABC+∠DCB=180°，于是∠ABC=90°.所以□ABCD是矩形.图2-47结论对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理：对角线相等的四边形是矩形吗？议一议议一议议一议议一议议一议议一议如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.（1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？例2图2-48（2）∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，解（1）∵□ABCD是矩形，∴AC与DB相等且互相平分.∴△OBC是等腰三角形.1122OBDBACOC.∴∴AC=2OC=2OB=BD.∴□ABCD是矩形.图2-48例3如图：在ABCD中，对角线AC、BD交于点O,EF⊥AC,O是垂足，EF分别交AB、CD于点E、F，且BE=OE=0.5AE求证:ABCD是矩形1.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，求证：四边形ABCD是矩形.练习证明：因为四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D，四边形的内角和为360°，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°，所以四边形ABCD是矩形.(三个角是直角的四边形是矩形.)2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，AC=4，求□ABCD的面积.解：∵OA==2，AB=2，AC12∴△OAB是等腰三角形.∴△OAB是等边三角形.又∠AOB=60°，∴OA=OB=2，∴AC=BD=4.∴□ABCD是矩形.(对角线相等的平行四边形是矩形.)AD.23∴作OE⊥AD于点E.∴AE3，∴=ABCDSADAB.23243矩形E在Rt△OAE中，AO=2，OE==1，AB12中考试题例在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是.AC=BD或∠ABC，∠CDA，∠BAD，∠BCD之中有任一个角为直角解析依据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形.