chp1.6行列式按行列展开

一般说来,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,我们自然地考虑把高阶行列式表示成低阶行列式的问题.下面介绍行列式的另一重要性质,即行列式按行(列)展开的法则就解决了这一问题.为此,先引入余子式和代数余子式的概念.§1.6行列式按某行(列)展开定理333231232221131211aaaaaaaaa例如3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式与代数余子式,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa记：2223113233aaMaa2123123133aaMaa2123133132aaMaa称为元素a11的余子式，为三阶行列式划去第一行第一列元素后剩下的二阶行列式。称为元素的a13的余子式，为三阶行列式划去第一行第三列元素后剩下的二阶行列式。称为元素a12的余子式，为三阶行列式划去第一行第二列元素后剩下的二阶行列式。因此222321232123111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa111112121313aMaMaM333231232221131211aaaaaaaaa记：因此，111112121313aMaMaM111112121313aAaAaA3111jjjaA从上式可以看出，三阶行列式等于第一行的所有元素分别乘上它们相应的代数余子式的和。称为元素a11的代数余子式。(1)AMM11111111(1)AMM12121212称为元素a12的代数余子式。(1)AMM13131313称为元素的a13的代数余子式。三阶行列式的所有元素均存在余子式和代数余子式。行列式中去掉第i行第j列剩下元素按原来次序组成的2阶行列式记为Mij称为元素aij的余子式.而Aij=(1)i+jMij称为aij的代数余子式。并且，行列式均等于某行或某列的所有元素乘上其对应的代数余子式的和：333231232221131211aaaaaaaaa31ijijjaA31ijijiaA按第i行展开(i=1,2,3)按第j列展开(j=1,2,3)例计算三阶行列式542303241D解：03=145)4(523324203123624.72D111112121313aAaAaA还可看出232322222121AaAaAa3542405221)3(4241+0=8412=72=D,333332323131AaAaAa230244332150341+36=24+60=72=D,313121211111AaAaAa154303542423024+84=1224=72=D.以及例计算行列式277010353D解21530(1)72.27按第二行展开，得2233(1)(1)7223350(1)772233(1)(1)72注：如果行列式某行或某列元素只有一个非0，其余元素均为0，则行列式等于该元素乘以相应的代数余子式。D例如11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa44424134323114121123aaaaaaaaaM2332231MA.23M记Aij=(1)i+jMij称为aij的代数余子式。定义：在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12M,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA(1)行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.(2)行列式D的元素aij的余子式Mij或代数余子式Aij与D的第i行元素和第j列元素没有关系,特别与元素aij的大小和符号均无关.注意：定理(展开定理)行列式D等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.可以根据行列式的特点，利用行列式性质5把某行（列）化成只含一个非零元素，然后按该行（列）展开。处理的过程中尽量选取含0比较多的行(或列)或比较好处理的行(或列)。展开一次，行列式降低一阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效。(降阶法)性质5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变．例.计算.3351110243152113D解法1：(直接展开)从第一行展开得D33511043153421113351420115351320115311(1)12(1)113(1)(1)14(1)23=3(3+0+1520+3+0)(15243+415+18)(0+4010+25+6)2(030+10256)=15+570+120=40.注：化为三阶行列式之后，可以用对角线法则，或运用行列式的性质化为三角行列式，也可以再次运用展开式定理把三阶行列式降阶为二阶行列式再计算。解法2：(先利用行列式的性质把某行或某列化为只含一个非0元素后再用展开式定理)处理第三行得511111131001055305111111550.3351110243152113D13432cccc33(1)1该行为零元素最多的行5111111550411121105011214)5(131120=40.12cc注：可以再次运用展开式以达到降阶的目的。注：该存在公因子4，提取出来以达到简化计算的目的。例计算n阶行列式.0000000000000000212,11,32,321,2111nnnnnnnnaaaaaaaaaD解将行列式按第一行展开，得0000000000)1(22,11,32,321,21111nnnnnnaaaaaaaD0000000000)1(212,11,32,31,211nnnnnnnnaaaaaaa21,32)2)(1(2111)1(nnnnnaaaa12,31,21)1(21)1(nnnnnnaaaa21,3211)2)(1(21)1(nnnnnaaaa12,31,2)2)(1(2111)1()1(nnnnnnnaaaa例证明范德蒙(Vandermonde)行列式.)(1jinjixxnD112112222121111nnnnnnxxxxxxxxx(1)证用数学归纳法.2D2111xx12xx,)(12jijixx法国数学家1735-1796当2n时(1)式成立.假设(1)式对于1n时成立,则)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn2232232111nnnnnxxxxxx)())((11312xxxxxxn211312)()())((jinjinxxxxxxxx1).(jinjixxnD112112222121111nnnnnnxxxxxxxxx计算高阶行列式数学归纳法是常用的方法注：范德蒙(Vandermonde)行列式.)(1jinjixxnD112112222121111nnnnnnxxxxxxxxx122311312nnnnxxxxxxxxxxxx推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa证把行列式D=|aij|按第j行展开，有,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa把ajk换成aik(k=1,…,n),可得行第j行第i当i≠j时，).(,02211jiAaAaAajninjiji同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji相同关于代数余子式的重要性质;,0,,1jijiDDAaijnkkjki当当;,0,,1jijiDDAaijnkjkik当当.,0,1jijiij当，当其中1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.;,0,,.21jijiDDAaijnkkjki当当;,0,,1jijiDDAaijnkjkik当当.,0,1jijiij当，当其中三、小结