人教B版2-2第一章 导数及其应用单元检测

1人教B版2-2第一章导数及其应用单元检测1.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是()A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－163．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a、b、c的值为()A．a＝－12，b＝0，c＝－32B．a＝12，b＝0，c＝－32C．a＝－12，b＝0，c＝32D．a＝12，b＝0，c＝324．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为()A．－1B．0C．1D．±15．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3k－1或1k3C．－2k2D．不存在这样的实数6．已知函数f(x)＝ax2－1的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线8x－y＋2＝0平行，若数列1fn的前n项和为Sn，则S2010的值为()A.20102011B.10052011C.40204021D.201040217．.若a2，则函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有()2A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点8．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A．2B．1C．－1D．－29．(2011·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是()A．[－32，3]B．[32，6]C．[3,12]D．[－32，12]10.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为图中的()11．已知函数f(x)＝1－xax＋lnx，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围为________．12．已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x03的值为________．13．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．14.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)在(a，b)上的图象如图，则y＝f(x)在区间(a，b)上极大值的个数为________．15.如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断．①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝2是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是________．16．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′(23)．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．(3)设函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．417．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．18．设函数g(x)＝13x3＋12ax2－bx(a，b∈R)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)．(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x)的表达式；(2)若g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，求a2＋b2的最小值．.19.设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.(1)求a、b、c的值；(2)求函数的递减区间．20.已知f(x)＝lnx＋x2－bx.(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；(2)当b＝－1时，设g(x)＝f(x)－2x2，求证函数g(x)只有一个零点．21．设函数g(x)＝13x3＋12ax2－bx(a，b∈R)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)．(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x)的表达式；(2)若g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，求a2＋b2的最小值．(理)(2011·天津文，19)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程．(2)当t≠0，求f(x)的单调区间．(3)证明：对任意t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点．5人教B版2-2第一章导数及其应用单元检测答案1、[答案]B[解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则φ′(x)＝f′(x)－20.∴φ(x)在R上是增函数．又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，∴当x－1时，φ(x)φ(－1)＝0，∴f(x)－2x－40，∴f(x)2x＋4.故选B.2、[答案]A[解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.3、[答案]C[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以由题意得f＝0，f－＝0.f－＝－1，即3a＋2b＋c＝0，3a－2b＋c＝0，－a＋b－c＝－1，解得a＝－12，b＝0，c＝32.4、[答案]B[解析]由导函数与原函数的关系知，f(x)＝x4－2x2＋a(a为常数)，∵f(0)＝－5，∴a＝－5，∴f(x)＝x4－2x2－5，令f′(x)＝4x3－4x＝0得，x1＝1，x2＝0，x3＝1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，当x∈(－1,0)时，f′(x)0，当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，6∴f(x)在(－∞，－1)和(0,1)上单调递减，在(－1,0)上和(1，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝0处取得极大值5，故选B.5、[答案]B[解析]因为y′＝3x2－12，由y′0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1－2k＋1或k－12k＋1，解得－3k－1或1k3，故选B.6、[答案]D[解析]∵f′(x)＝2ax，∴f(x)在点A处的切线斜率为f′(1)＝2a，由条件知2a＝8，∴a＝4，∴f(x)＝4x2－1，∴1fn＝14n2－1＝12n－1·12n＋1＝1212n－1－12n＋1∴数列1fn的前n项和Sn＝1f＋1f＋…＋1fn＝121－13＋1213－15＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1，∴S2010＝20104021.7、[答案]B[解析]f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)＝0⇒x1＝0，x2＝2a4.易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)＝10，f(2)＝113－4a0，由零点判定定理知，函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有一个零点．8、[答案]A[解析]∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，7∴b＝1c＝2或b＝－1c＝－2，∴ad＝2.9、[答案]理C[解析]由条件可得，f－，f－，f，f，即8b－c－12≤0，4b－c－3≤0，4b＋c＋3≤0，8b＋c＋12≥0，作出其可行域，易知目标函数z＝2b－c的取值范围是[3,12]．10.[答案]D[解析]当y＝f(x)为增函数时，y＝f′(x)0，当y＝f(x)为减函数时，y＝f′(x)0，可判断D成立．11、[答案][1，＋∞)[解析]∵f(x)＝1－xax＋lnx，∴f′(x)＝ax－1ax2(a0)，∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)＝ax－1ax2≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≥1x对x∈[1，＋∞)恒成立，∴a≥1.12、[答案]0或－23[解析]由条件知，2x0＝－3x20，∴x0＝0或－23.13、[答案]34，38[解析]设P(a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈[－1,3]，∴0≤a≤2.∴a2－a＋1＝a－122＋34，当a＝12时，取最小值34，当a＝2时，取最大值3，故P点纵坐标范围是34，3.14.[答案]2[解析]由f′(x)在(a，b)上的图象可知f′(x)的值在(a，b)上，依次为＋－＋－＋，∴f(x)在(a，b)上的单调性依次为增、减、增、减、增，从而f(x)在(a，b)上的极大值点有两个．15.[答案]②③[解析]由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．16、[解析](1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c得，f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝23时，得a＝f′(23)＝3×(23)2＋2a×(23)－1＝43a＋13，解之得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x＋13)(x－1)，列表如下：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗有极大值↘有极小值↗所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(－13，1)．(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，9有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数在区间x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞).17、[解析](1)f′(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以f＝0，f＝8.即12－3a＝0，8－6a＋b＝8.解得a＝4，b＝24.(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．当a0时，由f′(x)＝0得x＝±a.当x∈(－∞，－a)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增；当x∈(－a，a)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．故x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．18、[解析](1)根据导数的几何意义知f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b，由已知－2,4是方程x2＋ax－b＝0的两个实根，由韦达定理－2＋4＝－a－2×4＝－b，∴a＝－2b＝8，f(x)＝x2－2x－8.(2)g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，所以在[－1，3]区间上恒有f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b≤0，即f(x)＝x2＋ax－b≤0在[－1,3]上恒成立10这只需满足f－f即可，也即a＋b≥1b－3a≥9，而a2＋b2可视为平面区域