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1.5.1比较法1.理解和掌握比较法证明不等式的依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.通过学习比较法证明不等式,培养学生对转化思想的理解和应用.比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种作差比较法作商比较法定义要证明ab,只要证明a-b0.要证明ab,只要证明a-b0要证明ab0,只要证明ab1.要证明ba0,只要证明ba1适用于具有多项式特征的不等式的证明主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明【做一做1】设m=a+2b,n=a+b2+1,则()A.mnB.m≥nC.mnD.m≤n解析:∵n-m=b2+1-2b=(b-1)2≥0,∴n≥m.答案:D【做一做2】下列命题中,是真命题的有()①当b0时,ab⇔𝑎𝑏1;②当b0时,ab⇔𝑎𝑏1;③当a0,b0时,𝑎𝑏1⇔ab;④当ab0时,𝑎𝑏1⇔ab.A.①②③B.①②④C.④D.①②③④答案:A1.用作差比较法证明不等式的一般步骤是什么?剖析:用作差比较法证明不等式的一般步骤如下.(1)作差:把不等式的左、右两边作差,可以是左边减右边,也可以是右边减左边;(2)变形:把这个差变化为易于判断正负的形式,而不必考虑差的值是多少,变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等;(3)判断差的符号:主要依据差的最后变形的结果来判断;(4)下结论:肯定所证明的不等式成立.2.作商比较法中的符号问题如何解决?剖析:在作商比较法中,𝑏𝑎1⇒ba是不正确的,这与a,b的符号有关,比如若a0,b0,由𝑏𝑎1,可得ba,但若a0,b0,则由𝑏𝑎1得出的是ba,也就是说,在作商比较法中,要对a,b的符号作出判断.否则,结论将是错误的.对于此类问题,分为含参数变量类的和大小固定的两种,因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测,进而给出一定的理性推理或证明过程.题型一题型二题型三题型四用作差比较法证明不等式【例1】若a,b均为正数,求证:𝑏2𝑎12+𝑎2𝑏12≥𝑎+𝑏.分析:将不等式左边通分后,可以看到分子化为(𝑎)3+(𝑏)3的形式,结合右边𝑎+𝑏的形式,可考虑用作差比较法.证明:证法一:左边-右边=𝑎𝑏+𝑏𝑎−(𝑎+𝑏)=(𝑎)3+(𝑏)3-(𝑎+𝑏)𝑎𝑏𝑎𝑏=(𝑎+𝑏)[(𝑎)2-2𝑎𝑏+(𝑏)2]𝑎𝑏=(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)2𝑎𝑏.因为𝑎+𝑏0,𝑎𝑏0,(𝑎−𝑏)2≥0,所以𝑎𝑏+𝑏𝑎−𝑎+𝑏≥0,所以𝑎𝑏+𝑏𝑎≥𝑎+𝑏.即𝑏2𝑎12+𝑎2𝑏12≥𝑎+𝑏.题型一题型二题型三题型四证法二:左边-右边=𝑎𝑏+𝑏𝑎−(𝑎+𝑏)=𝑎𝑏-𝑏+𝑏𝑎-𝑎=𝑎-𝑏𝑏+𝑏-𝑎𝑎=(𝑎-𝑏)(𝑎-𝑏)𝑎𝑏=(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)2𝑎𝑏≥0,所以𝑎𝑏+𝑏𝑎≥𝑎+𝑏,即𝑏2𝑎12+𝑎2𝑏12≥𝑎+𝑏.题型一题型二题型三题型四反思(1)在作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的“差式”是二次三项式时,常用判别式法判断符号.有时会遇到结果符号不能确定,这时候要对差式进行分类讨论.题型一题型二题型四题型三用作商比较法证明不等式【例2】已知abc0,求证:a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.分析:证明这类含幂指数乘积形式的不等式,往往通过作商与1比较大小来证明.证明:由abc0,得ac+bbc+aca+b0.所证不等式左边除以右边,得𝑎2𝑎·𝑏2𝑏·𝑐2𝑐𝑎𝑏+𝑐·𝑏𝑐+𝑎·𝑐𝑎+𝑏=𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐𝑏𝑎𝑐𝑎𝑐𝑏=aa-b·aa-c·bb-c·bb-a·cc-a·cc-b=𝑎𝑏𝑎-𝑏·𝑎𝑐𝑎-𝑐·𝑏𝑐𝑏-𝑐.∵ab0,∴𝑎𝑏1,a-b0,∴𝑎𝑏𝑎-𝑏1.同理𝑏𝑐𝑏-𝑐1,𝑎𝑐𝑎-𝑐1.∴𝑎2𝑎·𝑏2𝑏·𝑐2𝑐𝑎𝑏+𝑐·𝑏𝑐+𝑎·𝑐𝑎+𝑏1,∴a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.题型一题型二题型四题型三反思证明此题易出现在不讨论ab+c·bc+a·ca+b0的前提下,就开始作商;或在未得到a-b0,,就得出商大于1,这些都是解题不严谨的表现,解题时要注意这一点.一般地,要比较的两个解析式均为正值时,可利用作商的方法比较其大小,如果两个解析式均为负值时,可用同样的方法比较其绝对值的大小.且𝑎𝑏1的条件下题型一题型二题型三题型四比较法的实际应用【例3】已知买8千克胡萝卜和10千克白菜的钱小于22元,而买12千克胡萝卜和6千克白菜的钱大于24元,问买2千克胡萝卜与3千克白菜的钱哪个更多些?分析:设每千克胡萝卜和每千克白菜的钱分别为a元和b元,根据条件列出a,b间的关系式,比较2a与3b的大小即可.解:设每千克胡萝卜和每千克白菜的钱分别为a元和b元,则由题意,有8𝑎+10𝑏22,12𝑎+6𝑏24,即4𝑎+5𝑏11,2𝑎+𝑏4.因为2a-3b=−43(4a+5b)+113(2a+b)−43×11+113×4=0,所以2a3b,所以买2千克胡萝卜比3千克白菜的钱更多些.题型一题型二题型三题型四反思应用不等式解决实际问题时,关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决.在实际应用不等关系解决问题时,常用比较法来判断数的大小关系,若是选择题或填空题,则可用特殊值加以判断.题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:作差后对差式变形不恰当,使判断符号的过程含糊不清.【例4】判断函数f(x)=x3在R上的单调性.错解:设x1,x2是R上的任意两个数,且x1x2,∴f(x2)f(x1).∴f(x)=x3在R上为增函数.则f(x2)-f(x1)=𝑥23−𝑥13=(x2-x1)(𝑥22+𝑥1x2+𝑥12).∵x1x2,∴(x2-x1)(𝑥22+𝑥1x2+𝑥12)0,错因分析:在x1x2时,x2-x10,但𝑥22+𝑥1x2+𝑥12的符号却含糊不清,因此需先变形后再判断其符号.题型一题型二题型三题型四正解:设x1,x2是R上的任意两个数,且x1x2,则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(𝑥22+𝑥1x2+𝑥12)=(x2-x1)𝑥2+12𝑥12+34𝑥12.∵x2x1,∴x2-x10.若𝑥2+12𝑥12+34𝑥12=0,则x1=x2=0,不符合题意,∴𝑥2+12𝑥12+34𝑥120,∴(x2-x1)𝑥2+12𝑥12+34𝑥120,∴f(x2)f(x1),∴f(x)=x3在R上为增函数.123451下列关系式中对任意ab0的实数都成立的是()A.a2b2B.lgb2lga2C.𝑏𝑎1D.12𝑎212𝑏2解析:∵ab0,∴𝑏𝑎1,-a-b0,∴(-a)2(-b)20,即a2b20.∴𝑏2𝑎21,12𝑎212𝑏2.∵lgb2-lga2=lg𝑏2𝑎2lg1=0,∴lgb2lga2.答案:B123452已知a0,且a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则P,Q的大小关系是()A.PQB.PQC.P=QD.大小不确定解析:P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=log𝑎𝑎3+1𝑎2+1.当0a1时,0a3+1a2+1,∴0𝑎3+1𝑎2+11,∴log𝑎𝑎3+1𝑎2+10,即P-Q0,∴PQ.当a1时,a3+1a2+10,∴𝑎3+1𝑎2+11,∴log𝑎𝑎3+1𝑎2+10,即P-Q0,∴PQ.答案:A123453已知a,b都是正数,P=𝑎+𝑏2,Q=𝑎+𝑏,则P,Q的大小关系是()A.PQB.PQC.P≥QD.P≤Q解析:∵a,b都是正数,∴P0,Q0.∴P2-Q2=𝑎+𝑏22−(𝑎+𝑏)2=-(𝑎-𝑏)22≤0,∴P2-Q2≤0,∴P≤Q.答案:D123454若-1ab0,则1𝑎,1𝑏,a2,b2中值最小的是.解析:依题意,知1𝑎1𝑏,a2b2,故只需比较1𝑏与b2的大小.∵b20,1𝑏0,∴1𝑏𝑏2.答案:1𝑏123455(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1).解析:(x+1)(x2-x+1)-(x-1)(x2+x+1)=x3+1-(x3-1)=20,故(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1).答案: