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From：Date：重庆师范大学数学学院学术活动月—学术报告数学学院2011级课程与教学论中小学生数学能力发展心理学研究简介前苏联心理学家克鲁切茨基从50年代末开始就对中小学生数学能力进行了长达十二年的研究.他运用深度访谈、问卷调查、跟踪分析、出声思维等质的研究方法，分析了不同能力的学生解题时的心里特性，以及数学能力组成成分中的类型、年龄、性别差异以及数学能力与个性的关系。这些研究成果集中反映在其著作《中小学生数学能力心理学》中。这本书的俄文版在1968年出版后，于1976年被基尔帕特里克等人翻译成英文版（Krutetskii,1976）。分别于1983、1984和1993年由我国上海教育出版社、教育科学出版社和九章出版社出版的中译本均译自这本英文版。数学能力研究综述一克鲁切茨基的研究二研究展望三关于数学能力的研究目前主要集中在以下三类问题上1.数学能力特殊性问题。数学能力本身是作为一种特殊形式存在，与一般智力范畴不同呢，还是数学能力是一般心理过程和人格品质的特殊化呢？也就是说，一般智力是与数学能力一起发展的吗？换句话说，人们能说数学能力不外是一般智力加上对数学的兴趣和学习数学的倾向性吗？2.数学能力的结构性问题。数学禀赋是单一性的（单独的、不可再分的）还是综合性的（复杂的）？如果是综合性的，人们就可追问关于数学能力的结构问题，也就是复杂心理形式的组成成分问题。3.数学能力的类型差异问题。是否存在着不同类型的数学秉赋或者有一个主要成分而只是在对某些数学分支的兴趣和倾向上出现差别？一.数学能力研究综述两条数学能力研究途径：西方心理学家：一般智力——静态研究对象前苏联数学教育界：能力倾向与品质——动态1.西方心理学家对数学能力的研究西方心理学家对智力和能力结构的研究只要采用的是因素分析法。20世纪初，英国心理学家斯皮尔曼：二因素理论20世纪30年代，美国心理学家瑟斯顿：12群因素理论.........吉尔福特分离出150多种因素，........180多种1962年，美国心理学家汉弗莱斯发表了各种特殊检查可以被无限地编造出来，因而，因素可以被无限地分割。2.前苏联教育界对数学能力的研究前苏联数学教育界侧重于从逻辑的角度去分析学生在数学活动过程中所表现出来的倾向和品质。鲁宾斯坦：揭示解决问题时思维过程的机制，从而刻画分析过程，综合过程和概括过程。斯拉夫卡斯亚：综合活动——迁移科瓦列夫和米亚西舍夫：提出了成功地进行数学活动所需要的“品质群”............3.当前有关数学能力的其他观点鲁思：形成数学才能的机能要素1.抽象能力；2.空间概念能力；3.人的思维的函数性质；4.演绎能力；5.空间关系与算术关系的辨别能力；6.较强的集中注意力。桑代克的《代数心理学》一般代数能力•运用符号的能力；•选择和建立关系的能力；•概念化和系统化的能力；•对实质性的因素和材料做出适当选择的能力；•把概念和技能系统化的能力。纯粹代数能力•理解和列出公式的能力；•在一个公式里表达量的相关的能力；•变换公式的能力；•列出表达已知数量关系方程式的能力；•解这个方程的能力；•完成代数计算的能力；•用图解表达一个量依赖于另一个量的能力；等等。黑克和齐亨：数学思维的核心成分空间成分：•理解空间图形、形式和它们的复合体（综合、格式塔）；•空间形式的记忆（空间概念）；•空间抽象（在空间对象中看出一般特征的能力）；•空间结合（李江或独立地发现空间对象之间的联系和关系）。逻辑成分：•概念的形成和概念的抽象；•理解、记忆和独立地发现普遍的概念联系；•根据形式逻辑的规律，理解、记忆和独立地得出结论和证明。数的成分：•数概念的形成；•数和数的答案的记忆。符号成分：•理解符号；•记忆符号；•用符号进行运算。著名数学家的观点辛钦：数学思维风格的显著特点是：1.逻辑推理强；2.思维简洁（总是力求找出达到目标的捷径）；3.推理步骤明晰；4.使用符号准确（每个数学符号都有一个确切的意义）。科尔莫戈罗夫：关于数学家的职业1.能对复杂的文字表达式进行熟练的变换，并找出解不规则方程的好方法，或者象数学家所称之为的计算的或“算法的”能力；2.几何想象或几何直觉；3.善于进行严密的逻辑推理，对一个数学家来说十分重要的逻辑成熟的标志，是理解数学归纳的原理和正确运用数学归纳原理的技能。格列登科:数学思维的必要条件1.能发现推理中的疏忽和必要证明步骤的缺失；2.严密逻辑论证的习惯；3.把推理过程清楚地分成若干步骤；4.简练性；5.使用符号的准确性。NCTM:Standards20001.解决问题：能透过问题解决建构新的数学知识，能解决在数学中和在其它环境条件中产生的问题，能检查并仔细考虑数学的解题过程，能应用和适应许多适当策略以解决问题。2.推理与证明：能认定推理与证明作为数学的基本方向，能做数学上的推测并加以研究探讨，能发展与评估数学的论点及证明，能选择与使用不同的推理型式及证明的方法。3.沟通：能够透过沟通去组织和巩固自己的数学想法，能一致且清楚地把自己的数学想法与同学、教师和其它人沟通，能分析及评价其它人的数学想法和策略，能用数学的语言来精确表达数学的想法。4.连结：能认出和使用数学思维中的关联，能理解数学观念如何相互连接，并能产生一致与完整的观念，能在非数学背景下察觉和映用数学。5.表征：能创造和使用表征去组织、纪录和沟通数学的观念，能选择、应用和转换数学的表征以解决问题，能使用表征建构出模型并能解释自然界、社会及数学的现象。OECD:PISA20001.数学的思考：包括形成的问题特性（如在哪里⋯？、如果如此⋯，那是多少？⋯.、我们如何发现⋯.？）；能区分在不同种类的数学叙述（定义、定理、推测、假设、例子、条件的限制）；了解数学提供给问题的不同答案；理解和处理所给的数学概念的程度和限制。2.数学的辩论：包括知道数学证明是不同于其它种类的数学推理；能评估不同类型的数学争论；拥有启发性的感觉（什么能够或不发生的，并且为什么），并且能创造数学的辩论。3.模型化：将所架构的领域或状况进行模型化；数学化（从口语转化到数学语言）；反数学化（用口语解释数学模型）；处理模型（在数学领域之内工作）；确认模型；反应、分析、提供模型的批评和他们的结果；在模型和结果之间沟通（包括结果的局限性）；监控和控制模块化过程。4.问题的形成和解决：包括形成和阐明数学问题；以许多方法解决不同种类的学问题。5.表征：包括在数学对象和情况表征的不同形式之间，解释和识别各种表征之间的相互关系；根据情况和目的选择不同形式并能转换。6.符号和公式：包括能解释符号和公式化的语言，及它与一般语言的关系；从一般语言到符号、公式化的语言翻译；处理含有符号和公式的陈述和表现；使用变量解出方程式并理解计算过程。7.沟通：包括能用数学的许多方法来表达自己的意思，如口头的及手写的形式；理解其它类似的写法或者口头报告。8.辅助工具：包括知道、利用各种可帮助数学活动的辅助工具（包括资讯技术工具）；了解这样的辅助工具的局限性。二、克鲁切茨基的研究1.研究设想1.1能力永远是一定种类活动的能力：它只存在于人类的特殊的活动中。1.2能力是一种动力的概念，不仅显现和存在于活动中，而且在活动中形成和发展。1.3活动上的进步依靠于许多能力。1.4活动中的最高成就，可以被不同的能力组合所决定。1.5能力能被其他能力所补偿。1.6一般才能和特殊才能的相互关系的问题是复杂的。2.有关概念的界定两类数学能力2.1作为创造性（科学）的能力——在数学科学活动中的能力。这种能力产生对人类有意义的新成果与新成就。这是在社会上有价值的成品。2.2作为学校学习的能力——在学习（学会、掌握）数学（在这种情况下是学校的数学课程）上的能力，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力。3.研究方法与历程3.1实验研究采用实验题对不同年龄阶段和能力水平进行分组跟踪测验，采用“切片”的方法进行分析研究。3.2问卷调查主要在于了解不同人对数学能力结构的看法。3.3个案研究对26名数学天才儿童采用定期观察，访谈和测试的方法进行长期的跟踪研究。3.4文献研究84位数学家和物理学家的传记以及现在数学资料。3.1研究中小学生数学能力的实验题体系普通测验：考查学生知道什么和会什么。能力测验：考查学生解题的容易程度和迅速程度选择实验题的依据1.选用的实验题目或是不需要特殊的知识、技能或习惯就可以解决的，或是它所需要的知识对全体学生来说都是具备的。2.实验题目对学生来说是新的，所用的材料也是他们不熟悉的，因此，也就大大减弱了过去经验的影响。3.如果他们的材料是新近学过的，那么就使我们有可能去探索学生掌握新技能的特点（解答相应类似题目的技能）。4.我们运用了一些具有数学创造性成分的题目——非常规的题目。研究中小学生数学能力的实验题体系系列1：没有提出问题的题目系列2：信息不完全的题目系列3：有多余信息的题目系列4：具有互相渗透因素的题目系列5：单一类型的题目体系系列6：不同类型的题目体系系列7：从具体到抽象逐渐过渡的题目体系系列8：按照特定的类型编题系列9：证明题系列10：运用题目的各种条件列方程式研究中小学生数学能力的实验题体系系列11：不现实的题目系列12：形成人工概念系列13：有几种解法的题目系列14：变化内容的题目系列15：重建一种运算的题目系列16：暗示“自我限制”的题目系列17：正向和反向的题目系列18：启发（探索）性课题研究中小学生数学能力的实验题体系系列19：关于理解和逻辑推理的题目系列20：系列题目系列21：数学诡辩题系列22：项目难记的题目系列23：在解答中具有不同程度直观性的题目系列24：既有语言又有直观表达的题目系列25：有关空间概念的题目系列26：揭露非智力活动方面的直观形象与语言逻辑成分之间关系的题目3.2数学能力的调查研究（1958-1962，62名教师）•能较快地掌握数学知识、技能和习惯，对教师的讲解领会得迅速（95%）•思维的逻辑性和独立性（82%）•学习数学时足智多谋与机敏（67%）•能迅速而牢固地记忆数学材料（50%）•有高度发展的概括、分析和综合数学材料的能力（50%）•上数学课很少感到疲劳（3%）•迅速地从正面的思维进程转变到反面的思维进程的能力（1。5%）（1965，56名教师）1.概括的能力（98%）2.推理的逻辑性（98%）3.智力的足智多谋和敏捷（88%）4.数学的记忆力（82%）5.抽象的能力（）6.思维的灵活性（73%）7.求助于视觉手段（63%）8.具有空间观念（57%）9.从正面的思维进程转变到反面的思维进程的能力（52%）10.力求节约脑力（48%）11.推理过程的缩短（38%）12.数学课大会很少疲劳（30%）数学能力的调查研究（数学家、21人）•清晰的目的性（3）•专心致志（4）•勤奋（2）•对数学的爱好（6）•由特殊到一般的能力（12）•从无关紧要的细节中摆脱出来的能力（11）•思维的准确、简洁与清晰（6）•寻找最漂亮的解答的需要（3）•数学的想象力或幻想（3）•从思维的一种水平到另一种水平的迅速转换能力（3）•能通过推理的中间阶段迅速地抓住事物的本质和透视问题的深处的能力，以及缩短推理的一些环节进行思考的能力（3）•形式推理的一般数学模式的技能（1）3.3天才儿童的个案研究个案1：索尼娅（2年级，1950年生于莫斯科，小传完成于1958-1959年）她有一个7年级的哥哥，发育正常，没有表现出数学才能，她的近亲中只有外祖母据说酷爱数学，但无据可查。索尼娅个子矮小，动作缓慢，讲话从容（甚至是慢吞吞地），情感表达较差；除了算术成绩优良外，其它各门功课学习正常，成绩一般。写作很差，阅读也不流畅，不大喜欢做作业。她有高度集中的能力。当她思想集中时，她不能安静地坐着，而是走来走去，坐立不安，有时甚至会做出各种反常的动作。有一次，她竟在解答一道难题时，突然站起来跑到床上，像演员表演似地翻了一个筋斗又回来坐到椅子上。但当她从事过于简单的事情时，会明显地表现出心不在焉。这就是为什么她常常10以内的加法做错的原因。在实验中，她用60节课就学完了5-7年级的全