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第2课时对数函数及其性质的应用学习目标重点难点1.掌握对数函数的图象和性质,能利用其图象与性质解决问题.2.知道指数函数y=ax(a0,a≠1)与对数函数y=logax(a0,a≠1)互为反函数.重点:对数函数的图象与性质的应用.难点:对数函数的图象与性质的灵活运用.1.对数函数y=logax(a1)与指数函数y=ax(a1)的性质比较函数y=axy=logax图象性质定义域R定义域(0,+∞)值域(0,+∞)值域R过定点(0,1)过定点(1,0)当x0时,y1;当x0时,0y1当x1时,y0;当0x1时,y0在R上是增函数在(0,+∞)上是增函数交流1(1)将指数函数f(x)=3x的图象沿直线y=x翻折后,可得函数的图象.(2)将对数函数y=log2x的图象向右平移1个单位长度后可得函数的图象.提示(1)y=log3x(2)y=log2(x-1)2.反函数一般地,如果函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=f-1(x),反函数也是函数,它具有函数的一切特性;反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数.指数函数y=ax(a0,a≠1)和对数函数y=logax(a0,a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域相互对换,单调性相同,图象关于直线y=x对称.交流2函数y=2x+1(x∈R)的反函数是.提示∵y=2x+1(x∈R),∴x=-1+log2y(y0).∴反函数为y=-1+log2x(x0).典例导学即时检测一二三一、比较对数的大小比较下列各组数的大小:(导学号51790092)(1)log1245与log1267;(2)log123与log153;(3)loga2与loga3.思路分析(1)中两数同底不同真,可利用对数函数的单调性;(2)中同真不同底,可结合图象性质判断;(3)中底数中含有字母,需分类讨论.典例导学即时检测一二三解(1)y=log12x在(0,+∞)上递减,又因为4567,所以log1245log1267.(2)因为在x∈(1,+∞)上,y=log15x的图象在y=log12x图象的上方,所以log123log153.(3)当a1时,y=logax为增函数,所以loga2loga3;当0a1时,y=logax为减函数,所以loga2loga3.典例导学即时检测一二三比较下列各组数的大小:(1)loga2.7,loga2.8;(2)log34,log65;(3)log0.37,log97.解(1)当a1时,由函数y=logax的单调性可知loga2.7loga2.8;当0a1时,同理可得loga2.7loga2.8.(2)log34log33=1,log65log66=1,∴log34log65;(3)log0.37log0.31=0,log97log91=0,∴log0.37log97.典例导学即时检测一二三对数值比较大小的常用方法如果同底,可直接利用单调性求解.如果底数为字母,则要分类讨论;如果不同底但同真,可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较;若底数和真数都不相同,则常借助中间量1,0,-1等进行比较.典例导学即时检测一二三二、对数方程与不等式解下列不等式:(导学号51790093)(1)log2(2x+3)log2(5x-6);(2)Logx1.思路分析解此类不等式的关键是根据对数函数的单调性及对数的运算性质,将其转化为一般的代数不等式,若对数的底含有参数,需对底的范围加以讨论.12典例导学即时检测一二三解(1)原不等式等价于2𝑥+30,5𝑥-60,2𝑥+35𝑥-6,解得65x3,所以原不等式的解集为65,3.(2)当x1时,因为logx121=logxx,解得x12,所以此时不等式无解.当0x1时,因为logx121=logxx,解得x12,所以12x1.综上,原不等式的解集为12,1.典例导学即时检测一二三解下列方程与不等式:(1)lg(x2+4x-25)-lg(x-3)=1;(2)lg(x+2)lg(x+1)+1.解(1)原方程可化为lg(x2+4x-25)=lg10+lg(x-3),即x2+4x-25=10(x-3),解得x1=1,x2=5.但当x=1时,x-30,方程无意义,舍去.所以所求方程的解为x=5.(2)原不等式可化为𝑥+210(𝑥+1),𝑥+10,解得-1x-89,所以原不等式的解集为-1,-89.典例导学即时检测一二三解对数不等式应注意的问题:(1)解对数不等式时,要注意:真数大于零,底数大于零且不等于1,然后借助对数函数的单调性,把对数的不等式转化为真数的不等式,然后与定义域取交集即得原不等式的解集.(2)底数中若含有参数时,一定注意底数大于0且不等于1;同时要注意与1大小的比较.典例导学即时检测一二三三、对数函数性质的综合应用已知函数f(x)=loga𝑥+1𝑥-1(a0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)判断函数的奇偶性和单调性.思路分析此函数是由y=logau,u=𝑥+1𝑥-1复合而成,研究函数的性质应先求出定义域,再利用单调性与奇偶性定义,去讨论该函数的性质.解(1)要使此函数f(x)有意义,则有𝑥+1𝑥-10,即𝑥+10,𝑥-10或𝑥+10,𝑥-10.解得x1或x-1.∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).典例导学即时检测一二三(2)∵f(-x)=loga-𝑥+1-𝑥-1=loga𝑥-1𝑥+1=loga𝑥+1𝑥-1-1=-loga𝑥+1𝑥-1=-f(x),∴f(x)为奇函数.f(x)=loga𝑥+1𝑥-1=loga1+2𝑥-1.令u=1+2𝑥-1,则函数u=1+2𝑥-1在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)上是递减的.∴当a1时,f(x)=loga𝑥+1𝑥-1在(-∞,-1)和(1,+∞)上是单调减函数;当0a1时,f(x)=loga𝑥+1𝑥-1在(-∞,-1)和(1,+∞)上是单调增函数.典例导学即时检测一二三已知函数y=lg(𝑥2+1-x).(导学号51790094)(1)求定义域并判断函数的奇偶性;(2)判断函数的单调性.解(1)由题意𝑥2+1-x0,得x∈R,即定义域为R.又f(-x)=lg[(-𝑥)2+1-(-x)]=lg(𝑥2+1+x)=lg1𝑥2+1-𝑥=lg(𝑥2+1-x)-1=-lg(𝑥2+1-x)=-f(x),∴y=lg(𝑥2+1-x)是奇函数.典例导学即时检测一二三(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1x2,则𝑥12+1𝑥22+1⇒𝑥12+1+x1𝑥22+1+x2⇒1𝑥12+1+𝑥11𝑥22+1+𝑥2,即有𝑥12+1-x1𝑥22+1-x20.∴lg(𝑥12+1-x1)lg(𝑥22+1-x2),即f(x1)f(x2).∴f(x)在(0,+∞)上为单调减函数.又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)在(-∞,0]上也是单调减函数.典例导学即时检测一二三(1)判断函数的奇偶性,应先看定义域是否关于原点对称,再用定义去判断,类似于f(x)=logag(x)的函数,有时用f(-x)±f(x)=0判断函数奇偶性较简便.(2)复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律,求函数的单调区间一定不能忽视函数的定义域,即保证真数大于0,当底数不确定时,常常运用分类讨论的思想方法去解决.典例导学即时检测12345671.方程9x-6·3x-7=0的解是().A.0B.1C.log37D.2答案:C解析:(3x)2-6·3x-7=0⇒3x=7或3x=-1(舍去),∴x=log37.典例导学即时检测12345672.记f(x)=log3(x+1)的反函数为y=f-1(x),则方程f-1(x)=8的解为x=().A.1B.2C.3D.0答案:B解析:由f-1(x)=8,得f(8)=log3(8+1)=2,所以f-1(x)=8的解为x=2.典例导学即时检测12345673.设a=log0.32,b=log0.33,c=20.3,d=0.32,则这四个数的大小关系是().(导学号51790095)A.abcdB.badcC.bacdD.dcab答案:B典例导学即时检测12345674.(2015湖南高考)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是().(导学号51790096)A.奇函数,且在(0,1)内是增函数B.奇函数,且在(0,1)内是减函数C.偶函数,且在(0,1)内是增函数D.偶函数,且在(0,1)内是减函数答案:A解析:要使函数有意义,应满足1+𝑥0,1-𝑥0,解得-1x1,即函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.此时f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.又f(x)=ln1+𝑥1-𝑥=ln21-𝑥-1,由复合函数的单调性可知f(x)在区间(0,1)内是增函数.故选A.典例导学即时检测12345675.函数f(x)=1-2log6𝑥的定义域为.答案:(0,6]解析:要使函数f(x)=1-2log6𝑥有意义,则需1-2log6𝑥≥0,𝑥0,解得0x≤6,故f(x)的定义域为(0,6].典例导学即时检测12345676.已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a=,b=.(导学号51790097)答案:33解析:从图象可知2=log𝑎𝑏,0=log𝑎(𝑏-2),解得𝑎=3,𝑏=3.典例导学即时检测12345677.设x≥0,y≥0,且x+2y=12,求函数u=log12(8xy+4y2+1)的最大值与最小值.(导学号51790098)解∵x+2y=12,∴2y=12-x.设P=8xy+4y2+1=4x12-𝑥+12-𝑥2+1=-3x2+x+54=-3𝑥-162+43.又x≥0,y≥0,x+2y=12,∴12-x=2y≥0,即x≤12.∴0≤x≤12.∴当x=16时,P取到最大值43;当x=12时,P取到最小值1.又y=log12P是关于P的减函数,∴函数y=log12(8xy+4y2+1)的最大值是log121=0,最小值是log1243.