线性代数向量组的极大线性无关组和秩

§4.3向量组的极大无关线性组和秩（2）如何找出这一组线性无关向量组？（3）其余向量与这一组向量有何关系？问题（1）一个向量组（含有限多个向量，或无限多个向量）线性无关的向量最多有几个？定义4.3.1如果向量组中的每个向量12:,,,pA(1,2,,)iip都可以由向量组12:,,,tB线性表出，则称向量组A可由向量组B线性表出.若向量组A和向量组B可相互线性表出，称向量组A与向量组B等价。1122,1,2,,1iiiittkkkip1122,1,2,,2iiiipplllit即1.向量组的线性表出定理4.3.1且,pt则向量组必线性相关.12,,,p12,,,p若向量组12,,,t线性表出;可由证明：给出时的证明.2,3pt1122330.kkk123,,123,,,kkk为说明线性相关，需找到三个不全为零的数使代入上式，整理得11112213321122223300akakakakakak111212313112122232320.kakakakakaka齐次线性方程组123,,所含方程个数小于未知量的个数，必有非零解.因此线性相关.由已知，可由生成集线性表出：123,,12,111121221212223131232.aaaaaa定理4.3.3两个等价的线性无关向量组，必包含相同个数的向量.定理4.3.2若线性无关向量组可由向量组线性表出，则12,,,t12,,,p.pt（逆否命题）2.极大线性无关组注：（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.（2’）任意r＋1个向量（如果有）都线性相关.（1）（II）线性无关，则称（II）是（I）的一个极大线性无关组.（2）一个线性无关向量组的极大无关组为其本身.（2）（I）中的任意向量可由（II）线性表出，在条件（1）下，（2）等价于定义4.3.2设12,,,()riiiII的一个部分组.如果12,,,()pI是例：在向量组123242121,,35414112,首先线性无关，又123,,线性相关，所以12,组成的部分组是极大无关组。还可以验证23,也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。中，极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由于等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。定理4.3.53.向量组的秩定义4.3.3向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记作例：向量组123242121,,354141秩为2.12(,,,).pr关于向量组的秩的一些结论：（1）零向量组的秩为0.（2）向量组12,,,p线性无关12(,,,)prp线性表出，则1212(,,,)(,,,)strr向量组12,,,p线性相关12(,,,)prp（3）若向量组可由向量组12,,,t12,,,p（4）等价的向量组必有相同的秩。思考：两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表出，则这两个向量组等价.两个有相同的秩的向量组等价吗？不一定例：123451101212136,,,,0112401131求向量组的秩和一个极大无关组.并用该极大无关组线性表出向量组中的其余向量.4.向量组的秩、极大无关组的求法解：A110121213601124011311101201124011240005511012011240000000011B1101201124000110000012345(,,,,)3.rB的1，2，4列是B的一个列极大无关组，所以，124,,是12345,,,,的一个极大无关组.B有三个非零行，思考：是否还有其他的极大无关组？进一步化A为行最简形123451010101102,,,,0001100000ABC124,,是C的一个列极大无关组3125124,2.且相应地有3125124,2.步骤：（1）向量组12,,,p作列向量构成矩阵A.（2）AB初等行变换（阶梯形或行最简形矩阵）r(A)=B的非零行的行数（3）求出B的列向量组的极大无关组（4）A中与B的列极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。（主元列）