线性代数基础知识

线性代数知识回顾矩阵的概念矩阵的定义矩阵是数(或是函数)的矩形阵表,是数学上常用的概念.定义:由m×n个数排成的m行n列的表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为m行n列矩阵（matrix）,简称矩阵.这m×n个数叫做矩阵的元素.当元素都是实数时称为实矩阵（realmatrix）,当元素为复数时称为复矩阵（complexmatrix）.3.向量n维行向量:1n矩阵[a1,a2,…,an]n维列向量:n1矩阵a1a2…an第i分量:ai(i=1,…,n)n阶方阵:nn矩阵2.方阵几种常用的特殊矩阵1.对角矩阵（diagonalmatrix）n00000021记作].[21ndiag2.标量矩阵（scalarmatrix）0000003.n阶单位矩阵（unitmatrix）100010001E矩阵的乘法smijaA)(定义设两个矩阵,nsijbB)(,则矩阵A与矩阵B的乘积记为,ABC规定,)(nmijcC其中skkjiksjisjijiijbabababac12211.),,2,1;,,2,1(njmi应注意:只有当矩阵A的列数与B的行数相同时，A与B才能作乘积，并且乘积矩阵的行数与A的行数相等，乘积矩阵的列数与B的列数相等.矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：(1)结合律:)()(BCACAB(2)分配律：,)(BCACCBA(3)设k是数:)()()(kBABkAABk例设102221A200112B求乘积矩阵.解：200112102221AB2100120110)2(22202110212)2(14450矩阵的转置定义设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211则矩阵mnnnmmaaaaaaaaa212221212111称为A的转置矩阵(transposedmatrix),记作A'TA或者转置矩阵就是把A的行换成同序号的列得到的一个新矩阵。例如，矩阵013321A的转置矩阵为13'2130A性质：1。A2=A’A2。(AB)’=B’A’3。(kA)’=kA’4。(A+B)’=A’+B’逆矩阵逆矩阵的概念定义：设A为阶n方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I则称A是可逆矩阵（invertiblematrix）。并称B为A的逆矩阵(inversematrix)，记为1A,即1AB如果矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.事实上，设A，B都是可逆矩阵，则有,11EABABEABAB22于是22212111)()(BEBBABABBEBB定义设A为n阶方阵，若0||A则称A是非奇异矩阵(nonsingularmatrix)或非退化矩阵,否则称A是奇异矩阵(singularmatrix)或退化矩阵。定义设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211令ijA为|A|中元素ija的代数余子式，则称方阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*为A的伴随矩阵(adjointmatrix),或记为adjA。矩阵可逆的充要条件定理：方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，||*1AAA即|A|≠0，并且nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*矩阵的秩矩阵秩的概念定义：设A是一个m×n矩阵，在A中任取k行、k列，位于这些k行和k列交叉处的元素按原来的次序组成一个k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式（minor）。例如：矩阵00000000210028503542A由1、2、3行与1、2、3列构成的三阶子式010100850542A在矩阵A中有一个三阶子式不为零，而所有的四阶子式全为零,这时我们可以称A的秩是3。定义：矩阵A中的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩(rank-ofamatrix），记作r(A)。零矩阵的所有子式全为零,所以规定零矩阵的秩为零.设A是n阶方阵,若A的秩等于n,则称A为满秩矩阵(nonsingularmatrix），否则称为降秩矩阵(singularmatrix)。矩阵秩的性质40829030120004700000例.的秩为.3注:从例可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于它的阶梯数(即:非零行的数目).而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形.线性方程组一.线性方程组的概念含有n个未知量,m个方程的线性方程组的一般形式如下a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)(非)齐次线性方程组,解,相容设A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm则线性方程组可以写成Ax=b.x=x1x2…xn,解向量,解集,通解,同解称A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn为(3.1)的系数矩阵,[A,b]=a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2……………am1am2…amnbm为(3.1)的增广矩阵.