线性代数教学改革

线性代数教学改革李尚志教授中国科学技术大学数学系空间为体,矩阵为用•研究对象----几何：线性空间(向量)•研究工具----代数：矩阵运算•向量(问题)--modeling矩阵语言描述矩阵运算解决向量(解答)•与微积分的关系:非线性--微积分线性--线性代数抽象=?•抽象=难得糊涂:•忽略差别,提取共同点从问题出发以解决问题为线索展开教学内容例:怎样建立向量的坐标•有方向和大小的量坐标化n数组•向量与坐标运算的对应:依赖于加法与数乘的运算律(8条公理)不直接依赖于平行四边形法则•基：坐标的唯一性—线性无关,存在性—极大无关组•向量---坐标:同构•坐标变换---数组空间中的坐标变换例:解线性方程组•方程(向量)-----系数组(坐标)•互为线性组合(初等变换)同解变形(高斯消去法)•只用到四则运算--数域的概念•关于方程个数的讨论:方程个数有真假—线性无关与线性相关•几个方程?•4个?••为何•只剩2个?•有假!--某方程是其余的线性组合--线性相关•打假到底极大无关组货真价实(秩)2个秩(方程的真正个数)的唯一性•证明只依赖于运算律将方程换成任意向量行列式的性质0.20.40.60.80.20.40.60.811.20.20.40.60.80.20.40.60.81det(u,v+w)=det(u,w)+det(u,w)det(u,v)=det(u,v+au)几何变换•(x,y)(x’,y’)•x’=f1(x,y),y’=f2(x,y)•曲线C:x=x(t),y=y(t)曲线C’:x=f1(x(t),y(t)),y=f2(x(t),y(t))线性变换•x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y.•由矩阵决定•画图观察:直线,平行,垂直,长度,角度,圆?2020/1/26旋转:2020/1/262020/1/26向量方向的变化特征向量2020/1/26选取特征向量为基---矩阵的对角化射影变换•x’=x/(x-1),y’=y/(x-1).•直线、相交、平行？•相交于x=1的直线？•圆(与x=1相离、切、交)?相交直线变成平行直线0.511.522.53-0.50.511.522.5-6-4-224-4-3-2-1123圆变成圆锥曲线-1-0.50.51-1-0.50.51-7.5-5-2.52.557.510-4-224谢谢！