线性代数正交规范化

第二节向量组的正交规范化定义1维向量设有n,,2121nnyyyyxxxx第一节向量的内积、长度及正交性一、内积的定义和性质内积的运算性质:,,,为实数维向量为其中nzyx;,,)1(xyyx;,,)2(yxyx;,,,)3(zyzxzyx.0],[0,0],)[4(xxxxx时有且当nnyxyxyxyx2211,令.,的与为向量称yxyx内积定义2非负性.1齐次性.2三角不等式.3,,22221nxxxxxx令.或的维向量为称xnx长度范数向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0xxxx时当时当;xx.yxyx二、向量的长度及性质维向量间的夹角单位向量及n.,11为称时当xx单位向量yxyxyx,arccos,0,02时当.的与维向量称为yxn夹角１正交的概念２正交向量组的概念.,0],[yxyx与称向量时当正交.,0,与任何向量都正交则若由定义知xx若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法,0021111T由.01从而有.02r同理可得.,,,21线性无关故r使设有r,,,21证明02211r得左乘上式两端以,1aT0111T３正交向量组的性质线性无关.,,,则非零向量,是一组两两正交的,,,维向量若定理rrn21211例1已知三维向量空间中两个向量121,11121正交，试求使构成三维空间的一个正交基.3321,,４向量空间的正交基.,,,,,,,,,,,212121的正交基向量空间是则称组是两两正交的非零向量且的一个基是向量空间若VVrrr即02],[0],[3213232131xxxxxx解之得.0,231xxx则有若令,13x1013213xxx由上可知构成三维空间的一个正交基.321,,则有0],[],[3231解.,,0,,213213正交且分别与设Txxx５规范正交基.,,,,,,,,)(,,,3212121的一个规范正交基是则称向量两两正交且都是单位如果的一个基是向量空间维向量设定义VeeeeeeRVVeeenrrnr.212100,212100,002121,0021214321eeee例如12,reee若是规范正交基，则1122rreee[,]Tiiiee其中（1）正交化，取，11a2122111,,,aa,,,,21的一个基为向量空间若Vaaar６求规范正交基的方法称为这样一个问题价等与使位向量的单就是要找一组两两正交的一个规范正交基要求的一个基是向量空间设,,,,,,,,,,,,,,,,,21212121rrrreeeeeeVV.,,,21范正交化这个基规把r121121112211[,][,][,][,][,][,]rrrrrrrrraaaa111,,,,,,.rrrbb那么两两正交且与等价（2）单位化，取121212,,,,rrreee.,,,21的一个规范正交基为那么Veeer313233121122[,][,][,][,]aaa11,,,,,.rr上述由线性无关向量组构造出正交向量组的过程称为施密特正交化过程例3.,014,131,121321量规范正交化特正交化过程把这组向试用施密设aaa解;11ab取bbbaab1212221],[12164131;11135bbbabbbaab222312133321],[],[1113512131014.1012再把它们单位化，取bbe111,12161bbe222,11131bbe333.10121.,,321即合所求eee例４.,,,,,111321321两两正交使求一组非零向量已知aaaaaa解.0,0,321132xxxxaaaT即应满足方程.110,10121它的基础解系为把基础解系正交化，即合所求．亦即取,12a.],[],[1112123a于是得其中,2],[,1],[1121,1012a.12121101211103a定义4.,1正交矩阵为称则即满足阶方阵若AAAEAAAnTT四、正交矩阵与正交变换122333212333221333正交矩阵的性质111.性质、正交矩阵的行列式等于或12AAA.T性质、如果是正交矩阵，则13AA.性质、如果是正交矩阵，则也是正交矩阵性质4、如果A,B是同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.证明TAAEE定理nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211四、正交矩阵与正交变换为正交矩阵的充要条件是的行向量都是单位向量且两两正交．AAETnTTn,,,2121ETnnTnTnTnTTTnTT212221212111njijijiijTji,,2,1,,0;,1当当性质正交变换保持向量的长度不变．证明,为正交变换设Pxy.xxxPxPxyyyTTTT则有定义5若为正交阵，则线性变换称为正交变换．PxyP1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．;11TAA;2EAAT;3单位向量的列向量是两两正交的A.4单位向量的行向量是两两正交的A五、小结2．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A