培优数学一元二次方程定义的灵活运用

一、一元二次方程定义的灵活运用。1、已知关于x的方程是一元二次方程，求n和a的取值范围。解：化简得（n-3）x²-ax+1=0是一元二次方程的条件是n3与a无关，所以a的取值范围是a为任意数。2、方程(a²-1)x-6x+5=0,当a_____时，b______时是一元二次方程.当a_______时，b______时,是一元一次方程2b+13、若关于的方程（m²+1）x2+mｘ+2=０，是一元二次方程，求出m的取值范围。二、一元二次方程的解法及其应用。A、常见一元二次方程的解法。B、配方法的应用C、字母系数一元二次方程的解法。A、一元二次方程常见的形式及其解法。)0a(,0cbxax21.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?2.不完全一元二次方程的哪几种形式?)0a(,0bxax2)0a(,0cax2)0a(,0ax21、符合ax2+C=0，(-C≥0)的形式,用直接开平方法2、符合ax2+bx=0(a≠0)，用分解因式简便4、符合ax2+bx+c=0(a≠0)不缺项时用公式法.5、一般不用配方法3、符合ax2=0(a≠0)根为0B、配方在解题中有广泛的应用——解特殊方程例1解方程x2-4x+y2-8y＋20=0．（x2-4x＋4）＋（y2-8y＋16）=0（x-2）2＋（y-4）2＝0．由非负数的性质，得x-2=0，y-4=0x=2y=4解:分别对x、y配方，得（a-b）2＋（b-c）2+（c-a）2＝0．例已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2-ab-bc-ca＝0判定△ABC是正三角形证明由已知等式两边乘以2，得2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0，拆项、配方，得（a2-2ab＋b2）＋（b2-2bc＋c2）＋（c2-2ca＋a2）＝0B、配方在解题中有广泛的应用——判定形状故△ABC是等边三角形．（a-b）2＋（b-c）2+（c-a）2＝0a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a＝b，b＝c，c＝a，即：a=b=c例1已知x是实数，求y＝x2-4x+5的最小值解：由配方，得y=x2-4x＋4-4＋5y=（x-2）2＋1∵x是实数，∴（x-2）2≥0当x-2=0，即x=2时，y最小，y最小=1．B、配方在解题中有广泛的应用——求最值。例2:用配方法说明，无论x为何实数，代数式x2-4x+4.5的值均大于零．5.44:2xx解5.0)2(5.04422xxx0)2(,2xx为何实数不论05.0)2(2x所以无论x为何实数，代数式x2-4x+4.5的值均大于零．B、配方在解题中有广泛的应用——求最值。例3:用配方法说明，无论x为何实数，代数式2x2-３x+10的值恒大于零1032:2xx解10)23(22xx0)43(,2xx为何实数不论所以无论x为何实数，代数式2x2-3x+10的值均大于零．10]169)43[(210])43()43(23[22222xxx871)43(21089)43(222xx0871)43(22xB、配方在解题中有广泛的应用——求最值。C、解含有字母系数的一元二次方程01x3mxX12的方程、解关于时，，即当，，当，解：当49m0m49m490m31x0m32XX49m21实数根时，方程有两个相等的时，方程没有实数根49m三、根与系数的关系一般形式的一元二次方程20axbxc(a≠0）当△=b2-4ac0该方程无解：当△=b2-4ac=02-bX=a242bbacxa当△=b2-4ac0根与系数的关系1：利用系数求根：1）把一元二次方程化成一般式；确定出a,b,c的值；求出△的值当△=b²-4ac0时，能求出方程的两个不相等的实数根。当△=b²-4ac=0时，能求出方程的两个相等的实数根。当△=b²-4ac0时，该方程没有实数根。根与系数的关系2：利用系数判断根的情况：不解方程，判别下列字母系数方程根的情况。求证：当a和c的符号相反时，一元二次方程一定有两个不相等的实数根.说明：不必计算的值，只要看一看a，C的符号是否相反即可.一般情况下a为正值，只要c是负数，一元二次方程一定有不相等的实数根.反之不成立.（3）证明关于x的方程（4）如果方程有两个不相等的实数根，证明方程也有两个不相等的实数根。没有实数根。当方程有两个不相等的实数根，则△=b²-4ac0当方程有两个相等的实数根，则△=b²-4ac=0当方程没有实数根，△=b²-4ac0根与系数的关系3：由根的情况确定待定系数的范围一般形式的一元二次方程20axbxc(a≠0）解方程有两个不相等的实数根的条件是解这个方程组，得K的取值范围是说明：解此类题目，一定要把满足题目的所有条件列成一个方程组，然后求方程组的解集.1、若关于有两个不相等的实数根，求K（2）方程有两个不相等的实数根的条件是什么？解方程组，得：的最大整数值为0.∴∴解：有两个不相等的实数根的条件是3、若关于x的方程没有实数根，求k的最小整数值。（1）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根。①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根？（2）m为何值时，一元二次方程根与系数的关系4：韦达定理1ax²+bx+c=0有根的前提（a≠0△≥0)两根为x1，x2，那么作用C：由已知一元二次方程的一个根求出另一个根或未知系数2作用A：判定解方程的结果是不是它的两个根。利用B：求两根的和，两根的积作用D：求出其它有关式子的值1、关于x的方程X²-(2m+1)x+m=0的两根之和与两根之积相等，则m=___________2、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=21k23k∴12342)21(kk解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。四、可化为一元二次方程的分式方程的解法解两边都乘以,x（x-1）得4(x-1)-x=x(x-1)所以x=2是原方程的根.例1：解方程1114xx解这个方程，得221xx检验把x=2代入0)12(2)1(xx例2解方程yxx112设yxx1112则762yy所以06722yy23,221yy21,2121xx解得：4173,417343xx71)1(61)1(222xxxx（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，能用换元法的方程用换元法解．（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根。五、一元二次方程的应用：