考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

世纪金榜圆你梦想-1-温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点48离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、填空题1.（2011·浙江高考理科·Ｔ15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数。若1(0)12PX，则随机变量X的数学期望()EX【思路点拨】先由相互独立的事件同时发生的概率求出p,进而求出其它情况的概率,再求出()EX.【精讲精析】由21(0)(1)(1)(1)312PXpp可得12p,从而221221211(1)(1)32323PXC,221221215(2)(1)323212PXC,2211(3)326PX.所以1151501231231263EX.二、解答题2．（2011·安徽高考理科·Ｔ20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟.如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3,假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2,q3，其中q1,q2,q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需要派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；世纪金榜圆你梦想-2-（Ⅲ）假定l＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.【思路点拨】（Ⅰ）利用间接法可以比较容易得出结论；（Ⅱ）直接利用相互独立事件及分布列知识解决；（Ⅲ）先分析抽象概括得出结论，再证明.【精讲精析】解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是)1)(1(-1321ppp）（，所以任务能被完成的概率与三个人被派出去的先后顺序无关，并等于1-)1)(1(-1321ppp）（=.321313221321pppppppppppp（II）当依次派出去的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3，随机变量X的分布列为X123Pq121-1qq）（)1)(1(21qq所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是2)(1qXE21-1qq）（3)1)(1(21qq=.2-32121qqqq（III）由（II）得结论可知，当以甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人时，.2-3)(2121ppppXE根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于p1，p2，p3的任意排列q1,q2,q3，都有21212-3qqqq.2-32121pppp事实上，-2-32121）（qqqq（21212-3pppp）21212211)(2qqppqpqp）（)()()(22212112211qpqpqpqpqp）（))(1()2(221112qpqqpp）（)]())[(1(21211qqppq0即21212-3qqqq.2-32121pppp3.（2011·福建卷理科·Ｔ19）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，世纪金榜圆你梦想-3-其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：1X5678p0.4ab0.1且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.（Ⅲ）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性.【思路点拨】（I）利用期望公式和16EX以及分布列中的所有概率和为1，联立关于,ab的方程组，解方程组求得,ab的值；（II）根据题中提供的数据，列等级系数2X的数学期望，再利用期望公式求期望；（Ⅲ）根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比，“性价比”大的产品更具可购买性.【精讲精析】（I）因为1EX＝6,所以50.46780.16,ab即673.2ab，又由1X的概率分布列得0.40.11,ab即0.5ab.由673.20.5abab，解得0.30.2ab.（II）由已知得，样本的频率分布表如下：2X345678世纪金榜圆你梦想-4-用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X的概率分布列如下：所以230.340.2+50.2+60.1+70.1+80.14.8EX＝，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.（Ⅲ）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为616＝.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为4.81.2.4＝所以乙厂的产品更具可购买性.4.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为2,2,494,94102,102.,ttty　　　　　　P0.30.20.20.10.10.12X345678f0.30.20.20.10.10.1世纪金榜圆你梦想-5-从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【思路点拨】第（Ⅰ）问分别用A配方、B配方生产的产品中优质品的频率来估计概率，第（Ⅱ）问分别求出质量指标落在90,94，94,102，102,110上的频率作为概率，明确X的对应取值，列分布列，用期望公式求期望即可.【精讲精析】（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即X的分布列为X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.685．（2011·辽宁高考文科·Ｔ19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II）试验时每大块地分成8小块地，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪种品种？附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差])()()[(1222212xxxxxxnsn，其中x为样本平均数．X-224P0.040.540.42世纪金榜圆你梦想-6-【思路点拨】（I）先编号，再逐一列出所有的基本事件，最后根据古典概型求解；（II）先求平均数，再求方差，最后下结论．【精讲精析】（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4．令事件A=“第一大块地都种品种甲”．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）．而事件A包含1个基本事件：（1，2）．所以61)(AP．（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1x(403397390404388400412406)4008甲，2222222221S[3-3-104(-12)0126]57.258甲（）（）品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：41241340042340841841240341981）（乙x2222222221S[7-906-411(-12)1]568乙（）（）由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．6.（2011·广东高考文科·Ｔ17）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s;（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率.【思路点拨】(1)由平均数的计算公式列出关于6x的方程，求出6x，由标准差的计算公式求标准差；（2）由古典概型概率计算公式直接求解.【精讲精析】（1）由题意756654321xxxxxx，即75672707276706x，解得906x；世纪金榜圆你梦想-7-标准差s=76759075727570757275767570222222）（）（）（）（）（）（（2）从前5位同学的成绩中随机地选2位同学的成绩，有10种，分别是（70，76），（70，72），（70，70），（70，72），（76，72），（76，70），（76，72），（72，70），（72，72），（70，72）.恰有一位同学成绩在区间（68，75）中，有4种，分别是（70，76），（76，72），（76，70），（76，72）.设事件A=“恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”，则P(A)52104.答：恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率是52.7.（2011·广东高考理科·Ｔ17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y