3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

数学3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示数学自主预习课堂探究数学自主预习1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.课标要求数学知识梳理1.空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=.其中{a,b,c}叫做空间的一个,a,b,c都叫做.2.空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底有公共起点的三个的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底.(2)空间直角坐标系以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.xa+yb+zc基底基向量两两垂直数学(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量OP=p.由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z}使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=.(x,y,z)数学自我检测1.(空间向量的坐标表示)已知e1,e2,e3是空间直角坐标系中分别与x轴、y轴、z轴同向的单位向量,且p=e1+2e2-3e3,则p的坐标是()(A)(1,2,3)(B)(-1,-2,3)(C)(1,2,-3)(D)(1,-2,-3)2.(空间向量的坐标表示)(2015白鹭洲中学高二月考)若点A(x2+4,4-y,1+2z)关于y轴的对称点是B(-4x,9,7-z),则x,y,z的值依次为()(A)1,-4,9(B)2,-5,-8(C)2,5,8(D)-2,-5,8CB数学3.(空间向量基本定理的理解)O,A,B,C为空间四点,且向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底,则()(A)OA,OB,OC共线(B)OA,OB共线(C)OB,OC共线(D)O,A,B,C四点共面D4.(坐标表示)设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,且m=2i+3j-4k,n=-i+2j-5k,则m,n的坐标分别为.答案:(2,3,-4),(-1,2,-5)5.(空间向量基本定理的应用)从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC,在PA,PB,PC上分别取PQ=a,PR=b,PS=c,点G在PQ上,且PG=2GQ,H为RS的中点,则GH=.(用a,b,c表示)答案:12b+12c-23a数学课堂探究空间向量基本定理的理解题型一【教师备用】(1)空间中怎样的向量能构成基底?(2)基底与基向量的概念有什么不同?提示:(1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底.(2)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.数学【例1】已知{e1,e2,e3}为空间一基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3,能否以OA,OB,OC构成空间的一个基底?解:能.假设OA,OB,OC共面,根据向量共面的充要条件有:OA=xOB+yOC,即e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.所以31,2,21.xyxyxy此方程组无解.所以OA,OB,OC不共面.所以OA,OB,OC可构成空间的一个基底.数学题后反思判断某一向量组能否作为基底,关键是判断它们是否共面.如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.数学即时训练11:已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是()(A)2a(B)2b(C)2a+3b(D)2a+5c解析:由于{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c不共面,在四个选项中,只有选项D与p,q不共面,因此,2a+5c与p,q能构成基底,故选D.数学空间向量基本定理的应用题型二【例2】如图,四棱锥POABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设OA=a,OC=b,OP=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示:BF,BE,AE,EF.解:连接BO,则BF=12BP=12(BO+OP)=12(c-b-a)=-12a-12b+12c.BE=BC+CE=-a+12CP=-a+12(CO+OP)=-a-12b+12c.AE=AP+PE=AO+OP+12(PO+OC)=-a+c+12(-c+b)=-a+12b+12c.EF=12CB=12OA=12a.数学题后反思(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.数学即时训练21:(2015北京大兴高二期中)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,已知AB=a,AD=b,1AA=c,则用向量a,b,c可表示向量1BD等于()(A)a+b+c(B)a-b+c(C)a+b-c(D)-a+b+c解析:1BD=1AD-AB=1AA+AD-AB=c+b-a.故选D.数学【备用例题】如图,已知正方体ABCDA′B′C′D′,点E是上底面A′B′C′D′的中心,分别取向量AB,AD,AA为基底,若(1)BD=xAD+yAB+zAA;(2)AE=xAD+yAB+zAA.试分别确定x,y,z的值.数学解:(1)因为BD=BD+DD=BA+AD+DD=-AB+AD+AA,又BD=xAD+yAB+zAA,所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为AE=AA+AE=AA+12AC=AA+12(AB+AD)=AA+12AB+12AD=12AD+12AB+AA,又AE=xAD+yAB+zAA,所以x=12,y=12,z=1.数学空间向量的坐标表示题型三【例3】在直三棱柱ABOA1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求DO,1AB的坐标.解:因为DO=-OD=-(1OO+1OD)=-[1OO+12(OA+OB)]=-1OO-12OA-12OB.数学又|1OO|=|1AA|=4,|OA|=4,|OB|=2,所以DO=(-2,-1,-4);因为1AB=OB-1OA=OB-(OA+1AA)=OB-OA-1AA.又|OB|=2,|OA|=4,|1AA|=4,所以1AB=(-4,2,-4).数学题后反思用坐标形式表示向量需解决两个问题:一是恰当建立空间直角坐标系,通常选取互相垂直的直线为坐标轴,顶点或中点为原点;二是正确求出向量的坐标.确定向量的坐标一般有两种方法,①运用基底法,即把空间向量正交分解,用相互垂直的三向量为一组基底表达某一向量,进而得坐标;②运用投影法,求出起点和终点坐标.数学即时训练31:如图所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量MN的坐标.解:因为PA=AB=AD=1,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB,AD,AP是两两垂直的单位向量.设AB=e1,AD=e2,AP=e3,以{e1,e2,e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.数学法一因为MN=MA+AP+PN=-12AB+AP+12PC=-12AB+AP+12(PA+AC)=-12AB+AP+12(PA+AB+AD)=12AD+12AP=12e2+12e3,所以MN=（0,12,12）.数学法二如图所示,连接AC,BD交于点O.则O为AC,BD的中点,连接MO,ON,所以MO=12BC=12AD,ON=12AP,所以MN=MO+ON=12AD+12AP=12e2+12e3.所以MN=（0,12,12）数学点击进入课时作业数学谢谢观赏Thanks!