3.1.4-5空间向量的正交分解+其坐标表示.ppt

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1211122122eeaeeaee如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。（、叫做表示这一平面内所有向量的一组不共线＝＋基底。）平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiyj(1,0),(0,1),0(0,0).ij【温故知新】任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。一、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}，使,,abcp.pxaybzc都叫做基向量,,abc给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)三、空间向量的直角坐标系pxyzOe1e2e3p例题已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ练习.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a－b+c122312(B)－a+b+c122312(C)a+b－c122312(D)a+b－c122323练习23.1.5空间向量运算的坐标表示1212(,),(,)aaabbb设则;ab;ab;a;ab//;abab1122(,)abab1122(,)abab12(,)aa1122abab()abR1122,()ababR0ab【温故知新】平面向量运算的坐标表示：11220abab;acos,;abaa2212aaabab112222221212ababaabb1212(,),(,)aaabbb设则;ab;ab;a;ab1122(,)abab1122(,)abab12(,)aa1122abab【新知探究】平面向量运算的坐标表示：类比推广123123(,,),(,,)aaaabbbb设则;ab;ab;a;ab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,)aaa112233ababab空间向量运算的坐标表示：例1．已知(2,3,5),(3,1,4),,8,,(2)abababaabaab求(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)ab(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)ab88(2,3,5)(16,24,40)a(2,3,5)(3,1,4)2(3)(3)15(4)29ab解:【应用举例】(2)(2,3,5)(1,5,6)21(3)(5)5647aab1212(,),(,)aaabbb设则【新知探究】平面向量运算的坐标表示：类比推广123123(,,),(,,)aaaabbbb设则空间向量运算的坐标表示：//;abab()abR1122,()ababR0ab11220abab;acos,;abaa2212aaabab112222221212ababaabb//;abab()abR112233,,()abababR0ab1122330ababab;acos,;abaa222123aaaabab112233222222123123abababaaabbb||ABABABAB212121(,,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121||()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz空间两点间的距离公式【新知探究】练习⑴已知ABCD,顶点(1,0,0),(0,1,0)AB,(0,0,2)C,则顶点D的坐标为______________;⑵RtABC△中,90BAC,(2,1,1),(1,1,2)AB,(,0,1)Cx,则____;x(1,-1,2)2【应用举例】F1E1C1B1A1D1DABCyzxO13(1,1,0),1,,1,4BE11(0,0,0),0,14DF，1311,,1(1,1,0)0,,1,44BE1110,1(0,0,0)0,1.44DF，，1111150011,4416BEDF111717||,||.44BEDF111111151516cos,.171717||||44BEDFBEDFBEDF例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，求：BE1与DF1所成角的余弦值.【应用举例】解：设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则1115.17BEDF因此，与所成角的余弦值是(1)建立直角坐标系，(2)把点、向量坐标化，(3)对向量计算或证明。11cos,______EBDF1517F1E1C1B1A1D1DABCyzxO例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，【应用举例】变式1:E是A1B1的一个四等分点，求证：AE∥DF1.E1(1,0,0),1,,1,4AE证明：所以10,,14AE110,14DF又，，1,AEDF所以1,,,AEDF又不共线，所以AE∥DF1.变式2:F是AA1的一个四等分点，求证：BF⊥DF1.F1(1,1,0),1,0,,4BF证明：所以10,1,4BF110,14DF又，，11101-01044BFDF所以，，，，1BFDF因此,即BF⊥DF1.F1E1C1B1A1D1DABCyzxO例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，【应用举例】G变式3:G是BB1的一个四等分点，H为AA1上的一点，若GH⊥DF1，试确定H点的位置.H1(1,0,),1,1,,4HaG解：设点坐标为又所以10,1,4GHa1110,14DFGHDF又，，且1110-044GHDFa所以12a解得,即当H为AA1的中点时，能使GH⊥DF1.(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点E,G在平面DCC1D1内的正投影(2)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.【尝试高考】EF11(0,0,1),0,1,2,(0,2,1),1,2,1GFEE10110,FGFE111FGFEFGFE,E1GG1(2)证明：分别以DA、DC、1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则yxOz10,11FG，，1,11FE，，10,11FE，，110110FGFE1FEFEF又11FGFEE面(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点E,G在平面DCC1D1内的正投影(2)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.【尝试高考】EFE1GG1yxOz11(3)0,20EG解：，，1,21EA，，110122014,EGEA11||2,||6.EGEA11111146cos,.326||||EGEAEGEAEGEA11.EGEA3因此，与所成角的正弦值是321163sin,1()33EGEA今天你学到了什么呢？1.基本知识：（1）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示；（2）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定的坐标表示。2.思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题(1)建立直角坐标系，(2)把点、向量坐标化，(3)对向量计算或证明。【课堂小结】作业:1.课本P98A组第8、10题2.素能综合检测（二十四）练习2:⑴已知A0,2,3)B2,1,6),(1,1,5)C（、（,则ABC△的面积S=_____.⑵(,2,1)ax,2(3,,5)bx且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围为.⑶正方体1111ABCDABCD─的棱长为2,EF、分别是111CCDA、的中点,求点A到直线EF的距离.7325(1,)2练习1、qpqpCBAOPPBAPBAzzaa共线，则三点则的且满足共线与,3,,1,4,2,2,5,13,2,4,3,1,1,2,1218,2,1,214,2,43,38,3134证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，例3如图，正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1BB，11DB中点，求证：1EFDA则1(1,1,)2E，11(,,1)22F所以111(,,)222EF，又1(1,0,1)A，(0,0,0)D，所以1(1,0,1)DA所以1111(,,)(1,0,1)0222EFDA，因此1EFDA，即1EFDA