浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第8章8.7 正弦定理与余弦定理

.4323120A221B6C2621D2151.63ABCbcAa在中，已知，，，则等于．．．或．2222221.cos1481224323()84.2abcbcaA由余弦定理所以得，解析：52cos255A.B.3455C..562.DABCABCabcabABB的三内角、、的对边长分别为、、，若，，则5ABC2252252cosB.4abABsinAsinBsinAsinBsinBcosB依题意，在中，有，所以所以，解析：182444A3.(2BCD011)ABCabA在中，若，，，则此三角形解的情况为．无解．两解　．一镇海中学考解月．不能确定2sinsin44sin452421221824sinbAbbbAab解析：所以此三角因为，所以，形有两解．4..abcABCABCcosAcosBcosC在中，若，则的形状是___________　2sin2sin2sin.tantantanaRAbRBcRCsinAsinBsinCABCcosAcosABBcosCABCC由正弦定理解析：故得，，，所以，即为正，所以，三角形．1.正弦定理(1)内容：其中R为△ABC外接圆的半径.(2)正弦定理的几种常见变形①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②其中R是△ABC外接圆的半径；③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA；④a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.2sinsinsinabcRABC，sin,sin,sin222abcABCRRR，2.余弦定理(1)余弦定理的内容c2=b2+a2-2bacosC，b2=a2+c2-2accosB，a2=b2+c2-2bccosA.(2)余弦定理的变形222222222-cos2-cos2-cos.2bcaAbcacbBacabcCab；；(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90°，则上述关系式分别化为：a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.3.解斜三角形的类型(1)已知两角和它们的夹边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求得其他边角；(3)已知三边，求三个角；(4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角图形关系式a=bsinAbsinAab解的个数一解两解A为锐角A为钝角或直角图形关系式a≥bab解的个数一解一解1.(20132145)ABCabBACc在中，已知，，，例题广东求角、和边模拟的值．4590sin3453sin2260120.BaBbaABCabsinAsinBasinBsinAbA因为，且，所以有两解．由正弦定理得，即，所以或解析：(1)当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°，此时(2)当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°，此时所以A=60°，C=75°，或A=120°，C=15°，sin2sin7562sinsin452bCcB；sin2sin1562sinsin452bCcB.622c622c“”已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形，这类问题可有一解、两解和无解三种情况．可以先根据边角关系确定解的个数再解三角形，也可以先解三角形，再根据大边对大角，小边对小角对解进点评：行取舍．2230.ABCbcBACa在中，已知，，，求拓、训、展练10545311513531.2302sin22,3015045135.45105311351531.csinBsinCbcbCCCCAACaAaCACaa解析：所以，，或，由正弦定理得，因为，所以或当时，，，当，时，，3sinsincos50352.5.ABCAAAabc在中，已知，，，，求例题22222223sincos0sin54cos1253552cos4(35)525()5820021.0()2AAAAsinAababcbcAccccccc因为，且，所以，又因为，，所以由，解析得，即，解得或舍去，：所以已知三角形的三边或已知两边和它们的夹角，运用余弦定理求解，熟练掌握余弦定理及变形式是解题的关键，同时还要注意方程思点评：想的运用． 210cos3.4ABCCAacAb拓展训练在中，，，，求2222sinsin22cossinsin31046.22032cos.12445.44.23co5s44cCAAaAAcacacababcbcAbbbbaABCAABCAAb由正弦定理得，所以，又，所以，由余弦定理，得所以或当时，，所以又，且，所以，与已知矛盾，不解析：合题意当时，满，舍去．足题意．2222sinsi.n3ABCabcABCabABabAB在中，，，分别表示三个内角、、的对边，如果，试判断该三角例题形的形状．2222222222sinsinsinsinsinsin2cossin2cossin.sincossinsincossinsin2sinsinsin2sinsin.00sin2n221si2abABabABaABABbABABaABbBAAABBBAAABBABApBpABA由已知，得[]，所以由正弦定理得，即因为，，所以，所以解：解法：析222ABApBABABBC所以是等腰三角形或直角或，即或，三角形．解法2：同解法1可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正、余弦定理得所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)，即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0.所以a=b或c2=a2+b2,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.22222222··.22bcaacbabbabcac12确定三角形的形状主要有两条途径：化边为角；化角为边．具体有四种方法：①通过正弦定理实现边角互化；②通过余弦定理实现边角互化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数值的符号的判断以及正、余弦函数的有点评：界性讨论．cossinabcABCABCacBbcAABC已知，，分别是的三个内角，，所对的边拓，若，且展训，试判练断的形状．222222290.sin.acbacacabcCaaRtABCAbABCcacc由余弦定理得，整理得，所以且在中解析：所以为等腰直角，，所以三角形．cos.cos2121344.ABCabcABCBbCacBbacABC在中，、、分别是角、、的对边，且求角的大小；若例题，，求的面积．222222222222222222coscos22coscos2222.1cos.221.322acbabcBCacabBbCacacbabbacabcacacbacacbacBacacBB由余弦定理知，，，将上式代入，得，整理得所以因为为三角形的所以内解，：角析22222213432cos22cos113133162(1)23sin.242bacBbacacBbaacSaccacacBcBa将，，，代入，得，解析：所以，所以以所，12根据所给等式的结构特点，利用余弦定理将角化为边是解题的关键．熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中点评：的运用．20tansin4.31cos210.ABCABCabcaBbABaABCScb设的内角、、所对的边长分别为、、，且，拓求和边长；若的面积，求边长练和展训222212sin4sin4.203tansin4cos03544sintan5311sin10410225.3cos25252532552.55.5ABCbAaBaBaBBBBSacBccacbBacbab由，得由与，得，所以，，因为，即，所以由余弦定解析：所以所以理得，即，2220.123303ABCABCabcbcabcAabcasinCbc在中，角，，的对边分别为，，，且求角的大小；若，求的最大备选题值；求：的值．22222210cos203bcabcAAabcabcbcbc由的结构形式，可联想利用余弦定理求出，从而求出的值．由及，可得关于，的关系式，利用基本不等式可求出的最大值．由正弦定理将边化为角，从而达到化简求值分析：的目的．22222221 cos222332()32(12)..01211AcbbcabcAbcbcabcbcbcbccbbcbccbbc因为，所以由，得解析：即当且仅当，又因为当且仅当时取等号，所以当且仅当时取等号时，取得最大值，2sinsinsinsin(30)2sinsin(30)2sin2sin313(cossin)sinsin(30)222sinsinsin(60)sin33cossin44.33cossin21232abcRABCaCRACbcRBRCCCACBCCCCCCC由正弦定理析：得，解，所以 1(0)2在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在，上的单调性求角；正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一点评：定要重视．2sin2sin2sin()aRAbRBcRCRABC正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中边、角关系转化为角的关系或边的关系，一般地，利用公式，，为外接圆半径，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形222222222coscoscos222ABCAbcaacbBCbcacabcab内角和定理，利用公式，，，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求解．13.1____________32_________..___6ABCABCabcacCAAb在中，角，，所对的边分别为，，，且，若；若，则例，则题115sin.26632sin22.32acsinAsinCasinCAAcaccsinACsinAsinCaCBb由正弦定理，得，所以或由，得，得，所以，所以错解：sinsinsin1sin23sin2.62321223321.36acACaCAacACcaccsinACsinAsinACBbCCBCba正解：则当时，，由正弦定理，得，又，所以，由，得可得；当时，，此时，得或，“”已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据是大边对大角，小边对错分析：小角解．