第一讲 不等式和绝对值不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)

本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查．[例1]若a、b是任意实数，且a＞b，则()A．a2＞b2B.ab＜1C．lg(a－b)＞0D．(12)a＜(12)b[解析]结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较大小，或用特殊值法判断．a＞b并不能保证a、b均为正数，从而不能保证A、B成立．又a＞b⇔a－b＞0，但不能保证a－b＞1，从而不能保证C成立．显然只有D成立．事实上，指数函数y＝(12)x是减函数，所以a＞b⇔(12)a＜(12)b成立．[答案]D1．证明不等式不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式，放缩的尺度要把握好．[例2]已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求证：(1＋1x)(1＋1y)≥9.[证明]法一∵x＋y＝1，∴1x＝x＋yx＝1＋yx，∴1y＝x＋yy＝1＋xy，∴(1＋1x)(1＋1y)＝(2＋yx)(2＋xy)＝5＋2(xy＋yx)≥5＋2×2xy·yx＝9.当且仅当xy＝yx，x＋y＝1，即x＝y＝12时等号成立．法二：∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，∴xy≤x＋y24＝14，∴1xy≥4.∴(1＋1x)(1＋1y)＝1＋1xy＋1x＋1y＝1＋1xy＋1＋yx＋1＋xy＝3＋1xy＋yx＋xy≥3＋4＋2xy·yx＝9.当且仅当yx＝xy，x＋y＝1，即x＝y＝12时等号成立．[例3]若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥92.[证明]∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，∴2＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)．∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·(1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)≥33a＋bb＋cc＋a×331a＋b·1b＋c·1c＋a＝9.∴原式得证．2．求函数的最值在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：①x、y为正数．②“和”或“积”为定值．③等号一定能取到，这三个条件缺一不可．[通一类][解]y＝x(1－3x)＝13×3x×(1－3x)，∵0＜x＜13，∴1－3x＞0，x＞0.∴y＝x(1－3x)＝13×3x×(1－3x)≤13×[3x＋1－3x2]2＝112.当且仅当3x＝1－3x即x＝16，y有最大值112.[例4]已知0＜x＜13，求函数y＝x(1－3x)的最大值．[例5]当0xπ2时，函数f(x)＝1＋cos2x＋8sin2xsin2x的最小值为()A．2B．23C．4D．43[解析]利用二倍角公式和同角三角函数关系，将函数式转化变形，再用基本不等式求解．f(x)＝2cos2x＋8sin2x2sinxcosx＝1tanx＋4tanx.∵x∈0，π2，∴tanx0.故f(x)＝1tanx＋4tanx≥21tanx·4tanx＝4，故选C.[答案]C3．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出类似函数y＝x＋ax的结构，然后用基本不等式(符合条件)或单调性求最值．这种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的．[例6]某游泳馆出售冬游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．(1)若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？(2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？[解]设买x张游泳卡，总开支为y元，则(1)每批去x名同学，共需去48×8x批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用48×8x×40.∴y＝240x＋48×8x×40(0＜x≤48，x∈Z)．∴y＝240(x＋64x)≥240×2x×64x＝3840，当且仅当x＝64x，即x＝8时取等号．故每人最少应交384048＝80(元)．(2)每批去x名同学，共需去48×4x批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用48×4x×40.∴y＝240x＋48×4x×40(0＜x≤48，x∈Z)．∴y＝240(x＋32x)≥240×2x×32x＝19202，当且仅当x＝32x，即x＝42时取等号．但0＜x≤48，x∈Z，又当x1＝5时，y1＝240×(5＋325)＝2736；当x2＝6时，y2＝240×(6＋326)＝2720.∵y1＞y2，∴当x＝6时，y有最小值，即ymin＝2720.故每人最少应交272048≈56.67(元).1．公式法|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)；|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．2．平方法|f(x)|＞|g(x)|⇔[f(x)]2＞[g(x)]2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．[例7]解下列关于x的不等式：(1)|x－x2－2|＞x2－3x－4；(2)|x＋1|＞|x－3|；(3)|x2－2|x|－2|≤1；(4)|x－2|－|2x＋5|＞2x；(5)|2x－1|＜|x|＋1.[解](1)法一：原不等式等价于x－x2－2＞x2－3x－4或x－x2－2＜－(x2－3x－4)，解得1－2＜x＜1＋2或x＞－3，∴原不等式的解集为{x|x＞－3}．法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2(x2－x＋2＞0)，∴原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4⇔x＞－3.∴原不等式的解集为{x|x＞－3}．(2)法一：|x＋1|＞|x－3|，两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1，∴原不等式的解集为{x|x＞1}．法二：分段讨论：当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈∅；当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3，即x＞1，∴此时1＜x≤3；当x＞3时，有x＋1＞x－3成立，∴x＞3.∴原不等式解集为{x|x＞1}．(3)∵x2＝|x|2，∴原不等式化为－1≤|x|2－2|x|－2≤1，即|x|2－2|x|－3≤0|x|2－2|x|－1≥0⇒|x|－3|x|＋1≤0|x|－1＋2|x|－1－2≥0⇒|x|≤3，|x|≥1＋2.∴1＋2≤|x|≤3.∴原不等式解集为[－3，－1－2]∪[1＋2，3]．(4)分段讨论：①当x＜－52时，原不等式变形为2－x＋2x＋5＞2x，解得x＜7，∴解集为{x|x＜－52}．②当－52≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－5＞2x，解得x＜－35.∴解集为{x|－52≤x＜－35}．③当x＞2时，原不等式变形为x－2－2x－5＞2x，解得x＜－73，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜－35}．(5)当x＜0时，原不等式可化为－2x＋1＜－x＋1，解得x＞0，又∵x＜0，∴x不存在；当0≤x＜12时，原不等式可化为－2x＋1＜x＋1，解得x＞0，又∵0≤x＜12，∴0＜x＜12；当x≥12时，原不等式可化为2x－1＜x＋1，即x＜2，∴12≤x＜2.综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}.若不等式对于给定区间内的任意值都成立，我们称它为不等式恒成立问题，常用的解决方法有：(1)实根分布法涉及到指定区间上一元二次不等式的恒成立问题时，应根据“三个二次”的辩证统一关系，按照二次三项式有无实根分类讨论去解决问题．(2)最值法运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．(3)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．(4)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．[例8]若不等式|x－a|＋|x－2|≥1对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．[解]设y＝|x－a|＋|x－2|，则ymin＝|a－2|.因为不等式|x－a|＋|x－2|≥1对∀x∈R恒成立，所以|a－2|≥1，解得：a≥3或a≤1.[例9]若不等式|x－4|＋|3－x|a的解集是空集，求a的取值范围．[解]法一：(1)当a≤0时，不等式|x－4|＋|3－x|a的解集是空集．(2)当a0时，先求不等式|x－4|＋|3－x|a有解时，a的取值范围．令x－4＝0，得x＝4，令3－x＝0，得x＝3.①当x≥4时，x－4＋x－3a，即2x－7a，解不等式组x≥4，xa＋72，得4≤xa＋72，∴a＞1.②当3x4时，有4－x＋x－3a，即a1.③当x≤3时，有4－x＋3－xa，即7－2xa.解不等式组x≤3，x7－a2，得7－a2x≤3，∴a1.综合①②③可知当a1时，原不等式有解，从而当0a≤1时，原不等式解集为空集．由(1)(2)两种情况可知不等式|x－4|＋|3－x|a的解集是空集时，a的取值范围是a≤1.法二：令y＝|x－4|＋|3－x|.则y＝2x－7，x≥4，1，3x4，－2x＋7，x≤3.作出图象如图，由图象观察可知，要使不等式|x－4|＋|3－x|a的解集为空集，显然a≤1.一、选择题1．已知y＞x＞0，且x＋y＝1，那么()A．x＜x＋y2＜y＜2xyB．2xy＜x＜x＋y2＜yC．x＜x＋y2＜2xy＜yD．x＜2xy＜x＋y2＜y解析：可以代入x＝14，y＝34，验证x＋y2＝12，2xy＝38，显然x＜2xy＜y＋x2＜y.答案：D2．若1＜a＜3，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是()A．(－1,3)B．(－3,6)C．(－3,3)D．(1,4)解析：∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4，∴－4＜－|b|≤0.又1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3.答案：C3．下列命题正确的是()A．a＞b⇒ac2bc2B.ac＞bc⇒a＞bC.a3＞b3ab＞0⇒1a＜1bD.a2＞b2ab＞0⇒1a＜1b解析：∵ab＞0，∴a，b同号．又a3＞b3，∴a＞b.∴aab＞bab.∴1b＞1a.答案：C4．已知|α＋β|＝|α|＋|β|，|α|＞22，|β|＞22，则下列结论：①|α－β|≤|α＋β|；②|α－β|＞|α＋β|；③|α＋β|＞5；④|α＋β|≤5.其中正确的有()A．①②B．①③C．②③D．③④解析：由|α＋β|＝|α|＋|β|知α，β同号，∴|α－β|≤|α＋β|成立．∵|α|＞22，|β|＞22，∴|α＋β|＝|α|＋|β|＞42＞5成立．∴①③正确．答案：B二、填空题5．定义新运算a⊗b＝a－2b，则|x⊗(1－x)|＋|(1－x)⊗x|3的解集为________．解析：由题意得|3x－2|＋|3x－1|3，当x≤13时解得x0；当13x≤23时无解；当x23时解得x1.故x0或x1.答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)6．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值是________．解析：由x－2y＋3z＝0得y＝x＋3z2，代入y2xz得x2＋9z2＋6xz4xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．答案：37．(2012·江西高考)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．解析：原不等式可化为x－12，1－2x－2x－1≤6，或－1