2.3 等差数列的前n项和(第二课时)

等差数列的前n项和(2)数列的前n项和Sn1．数列的前n项和：给定数列{an}，从第一项到第n项连续的和叫做数列的前n项和。记为：Sn1231nnniiSaaaaa…2、数列前n项和公式与数列通项公式的关系：)2()1(11nSSnaannn应用：已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式。1、Sn=n2-2n;2、Sn=2n+1练习已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式。1、Sn=n2+2n+2;2、Sn=2n-1P45练习2等差数列的前n项和公式:2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（形式1:形式2:复习回顾探究：将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？2)1(1dnnnaSn当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则Sn=An2+Bn令1,22ddABa等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得11313321113111022dd∴d=－2113(1)(2)2nSnnn214nn2(7)49n∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－20∴当n=7时,Sn取最大值.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由100nnaa得152132nn131522n即∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－20,a1=130∴a70,a80小结：求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.21()22nddSnan方法2:利用an的符号①当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥0求得.练习（1）:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14（2）已知等差数列25,23,21,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有n2d例2.（1）已知一个等差数列｛an｝前10项的和是310,前20项的和是1220.求这个等差数列的前30项和。（2）设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=.在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=－(m+p)例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为.在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=0例4.已知等差数列{an}中,S3=S11,则S14=.性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶nd1nnaa在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有(2)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶an1nn例5.(1)在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90(2)一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.(3).(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab性质5:为等差数列.{}nSn2121nnST例6.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且71427nnSnTn求和.55abnnab1.根据等差数列前n项和，求通项公式.1112nnnanaSSn2、结合二次函数图象和性质求的最值.ndandSn)2(2123.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶n2d0nd1nnaa－(m+p)性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab性质5:为等差数列.{}nSnan1nn2121nnST作业布置书本P47习题2.3B组4