点、线对称问题

点、线对称问题对称问题中心对称问题点关于点的对称线关于点的对称轴对称问题点关于线的对称线关于线的对称例1.已知点A(5,8)，B(4，1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标。一、点关于点对称解题要点：中点公式的运用A(x0,y0)P(a,b)(2a-x0，2b-y0)A＇一般地，点A(x0,y0)关于点P(a,b)的对称点是(2a-x0，2b-y0)练1：点A(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点A/的坐标是()-4,-1练2：过点P(1,3)与两坐标轴交成的线段以P为中点的直线方程_____分析：用中点坐标公式可求直线在坐标轴的截距分别为2和6用截距式写出方程为，即3x+y-6=0162yx例2.求直线l1:3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l2的方程。二、直线关于点对称法一：在l1上找两个特殊点，求出各点关于P的对称点，再求出l2方程l2MP(m,n)M′l1NN′法二：l2上的任意一点的对称点在l1上f(x,y)=0M(x,y)P(m,n)M′(2m-x,2n-y)f(2m-x,2n-y)=0法三：l1//l2且P到两直线等距。P(m,n)l2l1d2d1对称的直线方程。），（关于点、求直线练习1-10632:3Pyxl0832yx例3.已知点M的坐标为(-4,4)，直线l的方程为3x+y-2=0,求点M关于直线l的对称点M′的坐标。三、点关于直线对称解题要点：k•kMM′=-1（垂直）MM′中点P在l上M(x1,y1)M′(x,y)lP)6,2('M练习4：求点A（-1，3）关于直线l：x+y-1=0的对称点B)2,2(B几种特殊的对称：①点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：关于直线x=mp'(-x,-y)p'(x,-y)p'(-x,y)p'(y,x)p'(-y,-x)p'(2m-x,y)P(x,y)关于原点关于x轴关于y轴关于直线y=x关于直线y=-x关于直线y=np'(x,2n-y)练习5：已知点A（-4，6），则(1)A关于x轴的对称点A/坐标是（）(2)A关于y轴的对称点A/坐标是（）(3)A关于直线y=x轴的对称点A/坐标是（）6，-4-4，-64，6例4.试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y+3=0对称的直线l的方程。四、直线关于直线对称解题要点：由线关于线对称转化为点关于线对称思考：若l1//l2,如何求l1关于l2的对称直线方程？C1lC2M(x,y)M＇(x1,y1)l1l2l1'例：求直线1:230lxy关于直线:10lxy对称的直线l２的方程解：设,Mxy为所求直线l２上任意一点，则其关于l对称的点11',Mxy在直线l１上.1'11111(MM',K=-1)10(MM')22MMlyylxxxxyyl即K的中在上1111xyyx1123021130xyyx又故所求直线方程为240xy设直线则l关于原点对称的直线是＿＿＿＿＿＿＿l关于x轴对称的直线是＿＿＿＿＿＿＿l关于y轴对称的直线是＿＿＿＿＿＿＿＿l关于y=x对称的直线是＿＿＿＿＿＿＿l关于y=-x对称的直线是＿＿＿＿＿＿l关于x=a对称的直线是_______________0:CByAxl0)(CyBAx0)(CByxA0CAyBx0)()(CxByA②直线f(x,y)=0关于下列点或直线对称的直线方程分别为：0)2(CByxaA几种特殊的对称：3、曲线关于直线对称求曲线1C关于直线l的对称曲线2C的方程：在2C上任取一点(,)Mxy，求出它关于l的对称点坐标，再代入1C中，就可求得2C的方程。例：求圆221xy关于直线l：10xy的对称圆的方程五、角分线问题例１：已知△ABC的顶点A（4,－1）,B（－4,－5）,角B的内角平分线BE所在直线的方程为，求BC边所在直线方程。01yxB(-4,-5)A(4,-1)M（0,3）xyOE变式：△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B,∠C的内角平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x,求顶点B、C坐标·。xyOxy0xA（3,-1）A1(-3,-1)A2(-1,3)B(0,5)C(-5,-5)y=2x+5例2：一条光线经过点P（2，3），射到直线x+y+1=0上，反射后，穿过点Q（1，1），求光线的入射线和反射线的方程。xyOx+y+1=0P(2,3)Q(1,1)31,32SR(-4,-3))32(0245xyx)32(0154xyx六、光线的问题例3：光线从点P（－3，4）射出，到达x轴上的点Q后，被x轴反射到y轴上的点M，又被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D（－1，6），求QM所在直线方程。xOP(-3,4)D(-1,6)yD′(1,6)P′(-3,-4)MQ若自点)3,3(P发出的光线l经x轴反射，其反射光线所在直线与圆0744:22yxyxC相切，求直线l的方程。练习6：03340343yxyx或例4：已知x,y满足x+y=0，求的最小值。2222)3()2()1()3(yxyx七、解决求最值的有关问题M′(1,-3)xyOM(3,-1)N(-2,3)y=－xP）的距离之差最大。（），（到）（）的距离之和最小；（），（到）（使上找点在：、已知的最小值；求、：练习4,01,424,31,41,,0132102134)(,1722CAPBAPPlyxlxxxxxfRx3、在x轴上找点P，使它到点A（1,3），B（3,1）的距离最小，并求最小距离。一、点关于点对称二、点关于直线对称三、直线关于点对称四、直线关于直线对称五、角分线问题六、反射问题七、最值问题两条直线的位置关系------对称四类对称常见运用