点估计概述

)1.0,(2N(假定身高服从正态分布)例如我们要估计某班男生的平均身高.1.751.781.781.681.70从该总体选取容量为5的样本，测得高度：问题：如何利用一组样本值，来推断出这个值？即推断出总体的期望值.估计为1.74，这是点估计.这是区间估计.估计在区间[1.70,1.78]内，参数估计的类型：点估计——估计未知参数的值区间估计——估计未知参数的取值范围，并指出此范围包含参数真值的概率.§5.1点估计概述本节知识要点：1.理解参数的点估计、估计量及估计值的概念；2.了解估计量的无偏性、有效性和相合性，会验证估计量的无偏性；一、点估计的基本思想为待估的未知参数，的一个样本，是XXXXn,,,21.,,,21为相应的一个样本值nxxx点估计问题),,,(ˆ21nXXX构造一个适当的统计量.),,,(ˆ21来估计未知参数用它的观察值nxxx3.掌握矩估计法(一阶、二阶矩).);(~xFX设总体是待估的未知参数，),,,(ˆ21nXXX统计量),,,(ˆ21nxxx随机变量数值.),,,(ˆ21的估计量称为nXXX.),,,(ˆ21的估计值称为nxxx例如设总体X服从正态分布N(²)，其中²是未知参数.用什么样的统计量作为²的估计量2,?11niiXXn通常取:如何构造估计量？如何评价估计量的好坏？2122211XnXnSnii二、点估计的无偏性与有效性衡量统计量的好坏，有三条标准：(1)无偏性(3)相合性(一致性)(2)有效性这里我们重点介绍前面两个标准.1．无偏性.ˆ的无偏估计量是则称，若)ˆ(E我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的均值与真值相等.定义的合理性.系统偏差是无无偏估计量的实际意义的无偏估计量一般不是但DXS.,,),,(1221DXEXXXXXn的样本是来自总体设例.)1(的无偏估计量是X.)2(22的无偏估计量是S.)()3(2220的无偏估计量不是BS解)()1(XE)1(1niiXnEniiEXn11nn12)2(ESniiXnXnE12211niiEXn12[11]2XnE2iiEXDX2XEXD22[11nnn]122nn22201)()3(SnnESE2211nnESnn的无偏估计量非2..2321的无偏估计量总体均值下列统计量是否为的样本是总体，，例XXXX32112110152XXX32121214331XXX3213613121XXX321410710151XXX都是总体均值的无偏估计量.谁更优？2．有效性,ˆˆ21的两个无偏估计量是和设.ˆˆ),ˆ()ˆ(2121有效比称若DD统计量的样本是总体，，例.'2321XXXX32112110152XXX32121214331XXX3213613121XXX321410710151XXX都是的无偏估计量.哪个最有效？解32112110152)ˆ(XXXDD321411001254DXDXDX.5021DXDXD)ˆ(2)144116991(DX7249DX187DXD)ˆ(3)3619141(.5027DX)ˆ(4D，.ˆ3最有效故无偏估计量01.才可讨论有效性3.相合性(一致性)期望的点估计：20niiXnX11.也为相合估计量最有效、在无偏估计量中XX方差的点估计：30)(112122XnXnSniiDXSE2)(ˆPn的意义下，在相合估计量仅在样本容量n足够大时,才显示其优越性..ˆˆ,ˆ,ˆ,,1ˆ,1ˆ,,,,,32121121112更有效比且的无偏估计量都是试证的样本是来自方差的期望设总体例nkXkXnXXXDXEXXkiiniin证明XEE)ˆ(1.1nn)1()ˆ(12kiiXkEE.1kkniiXnDD11)1()ˆ(niiDXn121,2n)ˆ(2Dk2,kn由于更有效，所以估计量1ˆ)ˆ()ˆ(21DD故.ˆˆ21都是无偏估计量，样本容量n越大越好,估计得越准.例4已知X~P()，求E(S²).解~XP,EXDX则2ESDX如何构造估计量？如何评价估计量的好坏？常用构造估计量的方法:(两种)矩估计法和最大似然估计法.XXEˆ21)(1ˆXXnXDnii四、矩估计法P1571矩法的基本思想用相应的样本矩去估计总体矩用相应的样本矩的函数去估计总体矩的函数)0.12(53定义阶原点矩总体的PkkEXkkE(XEX)knikikXnA11kniikXXnB)(11,)(129Pk阶原点矩样本的kEXkkE(XEX)knikikXnA11kniikXXnB)(11,kkAˆk12,2,1ˆkAkk，矩法用矩法确定的估计量称为矩估计量相应的估计值称为矩估计值矩估计量与矩估计值统称为矩估计简记为ME2.计算矩估计量的步骤.21的矩估计量，问题：求参数;,)1(2EXEX计算；表示用),(2XX21，解出,)2(2221XAEXXAEX令)(2的表达式代入将X.ˆ,ˆ,)3(2121的矩估计量写出.,),,,(,)0(,],0[521的矩估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体例XXXXXn解EX1.,2，令XEX.2，即X2,2X解得的矩估计量为3..,,),,,(,,,],[621的矩估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体例baXXXXbabaXn解EX.1,2ba2EX2)(EXDX12)(2ba22baX2ˆ解EX.1,2ba2EX2)(EXDX12)(2ba22baXba2.2令222212)(XbabaXba2即])([322XXXa解得])([322XXXb，3.a,b矩估计量为])([3ˆ22XXXaniiXXnX12213])([3ˆ22XXXbniiXXnX12213])([1222XXab,00)(6);(73其他的概率密度为设总体例xxxxfX.,X,,,21的矩估计量求未知参数的一个样本是取自总体nXXX解EX.1dxxxf)(03)(6dxxxx03322)66(dxxx04332462xx,2，令X2.2,2X解得矩估计量为.3.2ˆX.,,,,,,0,8221222的矩估计量和求一个样本是又设均为未知和但且有都存在和方差的均值设总体例nXXXX解,.1EX2EX2][EXDX,22222.2XX令3.得到矩估计量分别为,ˆX222)(ˆXXniiXXn1221222)(XXX解得.)(112niiXXn