搜索
追及和相遇（一）V后V前问题一：两物体能追及的主要条件是什么？能追及的特征：两物体在追及过程中在同一时刻处于同一位置。问题二：解决追及问题的关键在哪？关键：位移关系、时间关系、速度关系1：位移关系追及到时：前者位移+两物起始距离=后者位移2：时间关系同时出发：两物体运动时间相同。思考：两物体在同一直线上同向作匀速运动，则两者之间距离如何变化?3：速度关系结论：当前者速度等于后者时，两者距离不变。当前者速度大于后者时，两者距离增大。当前者速度小于后者时，两者距离减小。思考：那匀变速直线运动呢？结论还成立吗？结论依然成立：当前者速度等于后者时，两者距离不变。当前者速度大于后者时，两者距离增大。当前者速度小于后者时，两者距离减小。问题三：解决追及问题的突破口在哪？突破口：研究两者速度相等时的情况在追及过程中两物体速度相等时，是能否追上或两者间距离有极值的临界条件。常见题型一：匀加速(速度小)直线运动追及匀速(速度大)直线运动开始两者距离增加，直到两者速度相等，然后两者距离开始减小，直到相遇，最后距离一直增加。即能追及上且只能相遇一次，两者之间在追上前的最大距离出现在两者速度相等时。例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？解法一：物理分析法(1)解：当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。由上述分析可知当两车之间的距离最大时有：v汽＝at＝v自∴t＝v自/a＝6/3＝2sx自＝v自tx汽＝at2/2∵Δxm＝x自－x汽∴Δxm＝v自t－at2/2＝6×2－3×22/2＝6m例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？解法二：数学极值法(1)解：设经过时间t汽车和自行车之间的距离ΔxΔx＝x自－x汽＝v自t－at2/2＝6t－3t2/2由二次函数求极值的条件可知：当t＝－b/2a＝6/3＝2s时，两车之间的距离有极大值，且Δxm＝6×2－3×22/2＝6m(1)解：当t＝t0时矩形与三角形的面积之差最大。Δxm＝6t0/2（1）因为汽车的速度图线的斜率等于汽车的加速度大小∴a＝6/t0∴t0＝6/a＝6/3＝2s（2）由上面（1）、（2）两式可得Δxm＝6m例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？解法三：图像法(1)解：选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，汽车相对此参照物(自行车)的各个物理量的分别为：已知：v相初＝－6m/s，a相＝3m/s2，v相末＝0由公式：2a相x相＝v相末2－v相初2得x相＝(v相末2－v相初2)/2a相＝－6m由：v相末＝v相初+a相t得t=(v相末－v相初)/a相=2s例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？解法四：相对运动法例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？∴v自t＝at2/26×t＝3×t2/2t＝4sv汽＝at＝3×4＝12m/s(2)解：汽车追上自行车时两者位移相等常见题型二：匀速直线运动追及匀加速直线运动（两者相距一定距离，开始时匀速运动的速度大）开始两者距离减小，直到两者速度相等，然后两者距离开始增加。所以：到达同一位置前，速度相等，则追不上。到达同一位置时，速度相等，则只能相遇一次。到达同一位置时，v加﹤v匀，则相遇两次。例2、车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t,当人追上车时，两者之间的位移关系为：x人－x0＝x车即：v人t－x0＝at2/2由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。代入数据并整理得：t2－12t＋50＝0Δ＝b2－4ac＝122－4×50＝－56＜0所以，人追不上车。在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。at'＝6t'＝6s在这段时间里，人、车的位移分别为：x人＝v人t＝6×6＝36mx车＝at'2/2＝1×62/2＝18mΔx＝x0＋x车－x人＝25＋18－36＝7m题型三：速度大的匀减速直线运动追速度小的匀速运动：⑴当两者速度相等时，若追者仍未追上被追者，则永远追不上，此时两者有最小距离。⑵若追上时，两者速度刚好相等，则称恰能相遇，也是两者避免碰撞的临界条件。⑶若追上时，追者速度仍大于被追者的速度，（若不出现碰撞）则先前的被追者还有一次追上先前的追者的机会，其间速度相等时，两者相距最远。例2、甲车在后以15m/s的速度匀速行驶，乙车在前以9m/s的速度匀速行驶。为了避免碰撞，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问为了避免碰撞甲刹车时距离乙最近为多少？同学们，请用四种方法解题。如果两车之间的距离大于18米，又会出现什么情况。（假定两车不会碰撞）解答：设经时间t追上。依题意：v甲t－at2/2＋L＝v乙t15t－t2/2＋32＝9tt＝16st＝－4s(舍去)甲车刹车后经16s追上乙车变式训练：甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度匀速行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问经多少时间乙车可追上甲车？解答：甲车停止后乙再追上甲。甲车刹车的位移x甲＝v02/2a＝152/2＝112.5m乙车的总位移x乙＝x甲＋32＝144.5mt＝x乙/v乙＝144.5/9＝16.06s例2、甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度匀速行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问经多少时间乙车可追上甲车？A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA＝4m/s，B车的速度vB＝10m/s。当B车运动至A车前方7m处时，B车以a＝2m/s2的加速度开始做匀减速运动，从该时刻开始计时，则A车追上B车需要多长时间？在A车追上B车之前，二者之间的最大距离是多少？解答：设经时间t追上。依题意：vBt－at2/2＋x0＝vAt10t－t2＋7＝4tt＝7st＝－1s(舍去)A车刹车后经7s追上乙车解答：B车停止后A车再追上B车。B车刹车的位移xB＝vB2/2a＝102/4＝25mA车的总位移xA＝xB＋7＝32mt＝xA/vA＝32/4＝8svA＝vB－atT＝6/2＝3sΔx＝x0＋xB－xA＝7＋21－12＝16mA、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA＝4m/s，B车的速度vB＝10m/s。当B车运动至A车前方7m处时，B车以a＝2m/s2的加速度开始做匀减速运动，从该时刻开始计时，则A车追上B车需要多长时间？在A车追上B车之前，二者之间的最大距离是多少？题型四：速度大的匀速运动追速度小的匀减速直线运动两者距离一直变小，一定能追上。要注意追上时，匀减速运动的速度是否为零。题型五：匀变速运动追匀变速运动总结：解答追及，相遇问题时，首先根据速度的大小关系判断两者的距离如何变化，把整个运动过程分析清楚，再注意明确两物体的位移关系、时间关系、速度关系，这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据。（2）常用方法1、解析法2、临界状态分析法3、图像法4、相对运动法甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1＝16m/s的初速度，a1＝－2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2＝4m/s的速度，a2＝1m/s2的加速度作匀加速直线运动，求两车相遇前两车相距最大距离和相遇时两车运动的时间。解法一：当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动时间为t1，两车速度为v对甲车：v＝v1＋a1t1对乙车：v＝v2＋a2t1两式联立得t1＝(v1－v2)/(a2－a1)＝4s此时两车相距Δx＝x1－x2＝(v1t1＋a1t12/2)－(v2t1＋a2t12/2)＝24m当乙车追上甲车时，两车位移均为x，运动时间为t，则：v1t＋a1t2/2＝v2t2＋a2t2/2得t＝8s或t＝0(出发时刻，舍去。)解法二：甲车位移x1＝v1t＋a1t2/2乙车位移x2＝v2t＋a2t2/2某一时刻两车相距为ΔxΔx＝x1－x2＝(v1t＋a1t2/2)－(v2t＋a2t2/2)＝12t－3t2/2当t＝－b/2a时，即t＝4s时，两车相距最远Δx＝12×4－3×42/2＝24m当两车相遇时，Δx＝0，即12t－3t2/2＝0∴t＝8s或t＝0(舍去)一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为x处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条件？方法1：设两车经过时间t相遇，则v1t－at2/2－v2t＝x化简得：at2－2(v1－v2)t＋2x＝0当Δ＝4(v1－v2)2－8ax＜0即a＞(v1－v2)2/2x时，t无解，即两车不相撞.方法2：当两车速度相等时，恰好相遇，是两车相撞的临界情况，则v1－at＝v2v1t－at2/2－v2t＝x解得a＝(v1－v2)2/2x为使两车不相撞，应使a＞(v1－v2)2/2x一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为x处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条件？方法3:后面的车相对前面的车做匀减速运动，初状态相对速度为(v1－v2)，当两车速度相等时，相对速度为零，根据vt2－v02＝2ax，为使两车不相撞，应有(v1－v2)2＜2axa＞(v1－v2)2/2x一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为x处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条件？1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启动，加速度a1＝20m/s2，B车晚3s启动，加速度a2＝30m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？解一、两车速度相等时，相距最远。a1t＝a2(t－3)得t＝9s∴Δx＝a1t2/2－a2(t－3)2/2＝270m解二、Δx＝a1t2/2－a2(t－3)2/2＝－5t2＋90t－135＝－5(t2－18t＋27)二次项系数为负，有极大值。Δx＝－5(t－9)2＋270当t＝9s时，Δx有极大值，Δx＝270m1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启动，加速度a1＝20m/s2，B车晚3s启动，加速度a2＝30m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？解三、用图象法。作出v—t图象。由图可知，在t＝9s时相遇。Δx即为图中斜三角形的面积。Δx＝3×180/2＝270m1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启动，加速度a1＝2