3.3.1-1第一换元积分法

3.3.1不定积分的换元积分法前两节我们学习了不定积分的直接积分法，并了解到定积分和原函数的关系，掌握了如何利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分.从本节起，学习不定积分和定积分的常用的方法——换元积分法、分部积分法.换元积分法是最常用、最有效的方法.1.第一换元积分法第一换元积分法是求复合函数的不定积分的基本方法引例xxd3cosxxd3cos331,)d(33cos31xx(因为d(3x)=3dx)..dcos31d3cosuuxx令u=3x，则上式变为Cxxxsindcos把,dcos上用到uu那么，uuxxdcos31d3cosCusin31.3sin31Cx也就是说上述结果正确..3cos3sin31的一个原函数是容易验证xx一般地，能否把公式，)的可微函数是(用到xuCuFuufCxFxxf)(d)()(d)(定理1回答这个问题.不定积分的第一换元积分法,)(d)(CxFxxf设且u=j(x)为可微函数，xxxfd)())((jj.))((CxFj①证已知F(x)=f(x)，u=j(x)，则))((xFj)()(xufjxuuF),())((xxfjj所以xxxfd)())((jj.))((CxFj则用上式求不定积分的方法称为第一换元法或称凑微分法．定理1常写成：则，若)(d)(CxFxxf,)(d)(CuFuuf①①式就是把已知的积分CxFxxf)(d)(中的x所以说把基本积分表中的积分变量换成可微函数j(x)后仍成立.其中u=j(x)可微.换成了可微函数j(x).例求.d)23sin(xx解对照基本积分表，，相似上式与表中dsinxx如果把dx写成了d(3x+2)，那么就可用定理1及,cosdsinCxxx为此将dx写成),23(d31dxx代入式中，那么xxd)23sin(.)2d(3)23sin(31xx令3x+2=u则uudsin31Cucos31.)23cos(31Cxa,b均为常数，且a0.例求.d)54(99xx解上式与基本积分表中Cxxx111d相似，为此将dx写成那么xxd)54(99,)5d(4)54(4199xx,)54(d41d代入式中xx令4x+5=u，uud4199则，原式Cu1004001.)54(4001100Cx例求.1dxx解上式与基本积分表中.||lnd1类似Cxxx为此将dx=d(x+1)代入式中，那么1dxx1)1d(xx.|1|lnCx例求22dxax(a0常数).解上式与基本积分表.arcsin1d2类似Cxxx22dxax21daxax21daxax.arcsinCax例求22dxax(a0常数).解22dxax221d1axxa21d1axaxa.arctan1Caxa,dlnd1xxx,1dd12xxx,d2d1xxx,cosddsinxxx,sinddcosxxx,tanddsec2xxx,cotddcsc2xxx,arcsindd112xxxxxxarctandd112等等.例求.de2xxx解将被积分式中的xdx因子凑微分，.d21d2xx则2de21de22xxxxxCx2e21经求导验算，.ee2122xxxC结果正确.即即例求.dlnxxx解因子将被积分式中的d1xx).lnd(d1xxx凑微分，即则xxxdlnxxlndln.ln212Cx例求.dcossin2xxx解x2sinx2sin.sin313Cx解x1sinx1sin.1cosCx例求.d1sin12xxx例求.de1exxx解.)1eln(Cxe1x1ex