数值计算方法教案_曲线拟合与函数逼近

第三章曲线拟合与函数逼近一．曲线拟合1.问题提出：已知多组数据,,1,2,,iixyiN，由此预测函数yfx的表达式。数据特点：（1）点数较多。（2）所给数据存在误差。解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。2.直线拟合的概念设直线方程为y=a+bx。则残差为：ˆiiieyy,1,2,,iN，其中ˆiiyabx。残差ie是衡量拟合好坏的重要标志。可以用MATLAB软件绘制残差的概念。x=1:6;y=[3,4.5,8,10,16,20];p=polyfit(x,y,1);xi=0:0.01:7;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');y1=polyval(p,x);holdonfori=1:6plot([i,i],[y(i),y1(i)],'r');end可以绘制出如下图形：三个准则：（1）maxie最小（2）1niie最小（3）21Niie最小3.最小二乘法的直线拟合问题：对于给定的数据点,,1,2,,iixyiN，求一次多项式y=a+bx，使得总误差Q最小。其中2211NNiiiiiQeyabx。根据0,0.QQab22221222NiiiiiiiQyabxyayxbxab12222NiiiiiQayxbNaybxa2212222NiiiiiiiiiQbxyxxabxxyaxb故有以下方程组（正则方程）：2iiiiiiaNbxyaxbxxy例1.给定数据表，求最小二乘拟合一次多项式xi165123150123141yi187126172125148解：N=5，51iix=702，51iiy=758，521iix=99864，51iiixy=108396。则有方程组570275870299864108396abbb解得a=-60.9392，b=1.5138，则一次多项式为y=-60.9392+1.5138b用MATLAB计算并画图如下：x=[165,123,150,123,141];y=[187,126,172,125,148];A(1,1)=5;A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(y);A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=x*y';B=rref(A);a=B(1,3);b=B(2,3);p=[b,a];%以上四行，可以用一行命令p=polyfit(x,y,1);替代。xi=min(x)-1:0.01:max(x)+1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');绘制如下图形4.最小二乘法的多项式拟合问题：对于给定的数据点,,1,2,,iixyiN，求m次多项式0mjjjyax（mN），使得总误差Q最小。其中22110NNmjiijiiijQeyax。根据0,0,1,,kQkma1020Nmjkijiiijyaxx故有正则方程：011mNNjkkjiiijiiaxyx当m=2时，有2012230122342012iiiiiiiiiiiiiaNaxaxyaxaxaxyxaxaxaxyx例2.求数据表的最小二乘法拟合的二次多项式函数xi-1-0.75-0.5-0.2500.250.50.751yi504025201821355666在MATLAB命令窗口输入：x=-1:0.25:1;y=[50,40,25,20,18,21,35,56,66];A(1,1)=length(x);A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(x.^2);A(1,4)=sum(y);A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=sum(x.^3);A(2,4)=y*x';A(3,1)=sum(x.^2);A(3,2)=sum(x.^3);A(3,3)=sum(x.^4);A(3,4)=y*(x.^2)';B=rref(A);p=[B(3,4),B(2,4),B(1,4)];%以上五行可以用p=polyfit(x,y,2);替代xi=min(x)-0.1:0.01:max(x)+0.1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');可以绘制出如下图形：例3.从三次多项式3232345Pxxxx上找出21个点,,1,2,,21iixyi，然后对这21个点进行“差错处理”，得到新的21个点，根据新的21个点拟合一个新的3次多项式函数，然后和原函数进行比较。解：在MATLAB命令窗口输入：p3=inline('2.*x.^3-3.*x.^2+4.*x-5');x=-10:10;y=p3(x);e=randn(1,length(x))*80;y=y+e;p=polyfit(x,y,3);xi=-10:0.01:10;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');holdonfplot(p3,[-10,10],'r');5.利用MATLAB的多项式拟合命令polyfit来实现多项式的插值例1.过随机6个数据点，构造5次多项式函数。解：在MATLAB命令窗口输入：x=1:6;y=round(10*randn(1,6));p=polyfit(x,y,length(x)-1);xi=1:0.01:6;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');可以得到以下图形：6.利用最小二乘法解超定方程组例1．解下列超定方程组24113532627xyxyxyxy解：设超定方程的解为00,xxyy。方法一：点00,xy到4条直线的距离平方分别为：2002122241124xyd，200222235335xyd，20023222612xyd，20024222721xyd设42001,iiQxyd，根据000,0QQxy，有：00000000222322224113532627203455xyxyxyxy=000000000242522224113532627203455xyxyxyxy=0化简有：000024912991201294319450xyxy解得002.99,1.30xy方法二：最小二乘法：点00,xy关于4条直线的残差平方和为：2002411Qxy200353xy20026xy+20027xy根据000,0QQxy，有：00000000424116353226427xyxyxyxy=0000000008241110353426227xyxyxyxy=0化简有：0000183510346480xyxy解得003.04,1.24xy用MATLAB命令有：symsx0y0f1=4*(2*x0+4*y0-11)+2*3*(3*x0-5*y0-3)+2*(x0+2*y0-6)+2*2*(2*x0+y0-7)f2=8*(2*x0+4*y0-11)-2*5*(3*x0-5*y0-3)+4*(x0+2*y0-6)+2*(2*x0+y0-7)解得：f1=36*x0-6*y0-102f2f2=-6*x0+92*y0-96继续在MATLAB命令窗口输入：A=[36,-6,102;-6,92,96];B=rref(A)x0=B(1,3)y0=B(2,3)解得：x0=3.04029304029304y0=1.24175824175824方法三：最小二乘法（矩阵运算）针对方程组Axb的最小二乘近似解即为方程组TTAAxAb的解于是，在MATLAB命令窗口输入：A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=inv(A'*A)*A'*b计算结果为：x=3.040293040293041.24175824175824方法四：用MATLAB左除命令“\”在MATLAB命令窗口输入：A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=A\b即可以得到答案x=3.040293040293041.24175824175824可以看出用MATLAB的左除“\”命令计算得到的答案与最小二乘法得到的答案是一致的。其实，MATLAB的左除“\”命令就是按照最小二乘法的原来来编写的。另外，可以用MATLAB的ezplot命令绘制四条直线的图形ezplot('2*x+4*y=11');holdonezplot('3*x-5*y=3');ezplot('x+2*y=6');ezplot('2*x+y=7');plot(2.99,1.30,'o');A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=A\bplot(x(1),x(2),'*');绘制图形如下：二．函数逼近问题，已知函数f(x)，求一个多项式函数nPx在区间[a,b]上逼近f(x)。解决方法：函数的最佳平方逼近。令200,,nbjnjajQaaaxfxdx，使Q最小，则有0,0,1,,kQkna例1.求一次多项式1Px在0,2上逼近函数sinfxx。解：构造直线为：yaxb，220,sinQabaxbxdx，0,0.QQab则有20202sin02sin0axbxxdxaxbxdx，2222000222000sin()sin()axdxbxdxxxdxaxdxbdxxdx3221248182abab解得：a=0.6644389，b=0.1147707在MATLAB命令窗口输入：xi=0:0.01:pi/2;yi=sin(xi);p=polyfit(xi,yi,1);pi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,xi,pi);可以绘制以下图形：作业：（1）用最小二乘法求一个形如2yabx的经验公式，使它与下列数据表拟合。xi1925313841yi19.032.349.073.397.8解：方法一，最小二乘法；方法二，用解超定方程组的思路来解题。5221iiiQabxy，根据0,0QQab，有：52152212020iiiiiiiabxyabxyx在MATLAB命令窗口输入：x=[19,25,31,38,44];y=[19,32.3,49,73.3,97.8];A=[5,sum(x.^2),sum(y);sum(x.^2),sum(x.^4),x.^2*y'];B=rref(A);p=[B(2,3),0,B(1,3)];xi=min(x):0.01:max(x);yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');绘制图形如下：（2）已知数据表如下，试用二次多项式拟合。xi0123456yi15141414141516（3）求一个形如bxyae（a，b为常数，a0）的经验公式，使它能和下表数据拟合。xi11.251.51.752yi5.15.796.537.458.46解：公式bxyae可以变为：lny=lna+