数列专题4：证明等差等比数列

数列专题四：证明一个数列是等差数列，等比数列三：证明数列是等差数列，等比数列.122111,3,32().(1)-2.nnnnnnnnaaaaaanNaaanS例：已知数列满足证明：是等比数列；（）求数列的前项和1131,2(2,),51=).-1(1)2nnnnnnnnaaannNabbnNaba例：数列中，数列满足（求证：数列是等差数列；（）求中的最大项与最小项，并说明理由。(1)=,.2(1)nnnnnanSnaSnNa例：已知各项全不为零的数列的前项和，求证：数列为等差数列。变式训练1设Sn为数列{bn}的前n项和，且满足b1＝1，2bnbnSn－S2n＝1(n≥2)．证明：数列1Sn是等差数列，并求数列{bn}的通项公式．证明由已知2bnbnSn－S2n＝1(n≥2)，又bn＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以2(Sn－Sn－1)(Sn－Sn－1)Sn－S2n＝1，即2(Sn－Sn－1)－SnSn－1＝1，所以1Sn－1Sn－1＝12，又b1＝S1＝1，所以数列1Sn是首项为1，公差为12的等差数列，由上可知1Sn＝n＋12，即Sn＝2n＋1，所以当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝－2n(n＋1)，因此bn＝1，n＝1，－2n(n＋1)，n≥2，n∈N+.+1+1+11+1+1:1,(,),1(,),211.=.71112+-23nnnnnnnnnnnnnnnCxyCAxykCAxyxAxxxxxxx例：已知：曲线过上一点作斜率为的直线交曲线于另一点点（n=1,2,3,4)的横坐标构成数列其中（）求与的关系式（用表示）；（）求证：数列是等比数列。答题规范6．数列求解要注意首项的特殊性试题：(12分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N+.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．学生解答展示(1)证明.}{21)(2121111是等比数列nnnnnnnnnnbbaaaaaaabN)()21(3235)21(3235])21(1[321)21(1)21(11)21()21(11)()()()21(1111212312111naaaaaaaaaaabnnnnnnnnnnnnn(2)解审题视角(1)可以利用等比数列的定义证明{bn}是等比数列；(2)由an－an－1＝f(n)的形式，可以想到利用叠加法．规范解答(1)证明b1＝a2－a1＝1，[1分]当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，[5分]∴{bn}是首项为1，公比为－12的等比数列．[6分](2)解由(1)知bn＝an＋1－an＝－12n－1，[7分]当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)[8分]＝1＋1＋－12＋…＋－12n－2＝1＋1－－12n－11－－12＝1＋231－－12n－1＝53－23－12n－1，[10分]当n＝1时，53－23－121－1＝1＝a1，∴an＝53－23－12n－1(n∈N+)．[12分]批阅笔记本题难度并不大,属于一道中等难度的题目，但大部分考生都因解题不规范，步骤不完整等原因被扣分，如解(1)题时未说明{bn}的首项和公比．解第(2)题时未对n＝1的情况进行检验等，因此在解题时一定注意步骤的完整性，逻辑的严谨性．134(2011,,,,,,nnmnlmknklkaaqSnSSSSS四川文）已知是以为首项，为公比的等比数列，为它的前项和.(1)当S成等差数列时，求q的值；（2）当成等差数列时，求证：对任意自然数k，aaa也成等差数列.345.20112,5+4nnnnnbbbnSS（湖北文）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列中的b,b,b(1)求数列的通项公式；（）数列的前项和为求证：数列是等比数列.11122331122334420111,,(0),1,2,3,,,,,,nnnnnnnnabaaabababaaaaabbabababaab（江西）（）已知两个等比数列满足（理（1）)若a=1,求数列的通项公式；(文（1）理（2）)若数列唯一，求的值；（文）（2）是否存在两个等比数列使得，成公差不为0的等差数列？若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由。12211*123*201112(1)().(1),,(),.nnnnnnnnnnnnnndaCdCdnCdnCdnnNaaaandanNbn（四川理）设为非零实数，写出并判断是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设b求数列的前项和S111*123*2121*2121212212(20113+-1(2)+1=,2,=2.(1),,1().3nnnnnnnnnnnnnnnnnnnabbababnNaaacaanNcaSSSSnnNaaaa天津文）已知数列与满足（），且求，的值；（2）设证明：是等比数列；（3）设S为的前n项和，证明：*+1+1+212345*2121*2424*1(20113(1)++=0,,22,4.(1),,,,3,,7().6nnnnnnnnnnnnnkknkkkabbaababnNaaaaanNcSaaakNSnNa天津理）已知数列与数列满足，且aa求的值；（2）设c证明：是等比数列；（）设证明：*11*12*12(2011,(0),(,,1).(1)2,,,,2,,,.nnnnnkkkmmmanaaaarSnNrRrakNSSSNmaaa湖北理）已知数列的前项和为S且满足：求数列的通项公式；（）若存在使得成等差数列，试判断：对于任意的m且是否成等差数列，并证明你的结论