数列专题典型习题精华

第1页数列专题复习一：数列的概念（1）按照一定顺序排列成的一列数叫做数列。（2）项：数列中的每一个数都叫做数列的项。（3）数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，常数列，摆动数列。（4）表示方法：,......,......,,321naaaa简记为na（5）通项公式：如果数列na的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.（6）递推公式：数列以相邻两项(或多项)的形式给出.如:)1(,121naann1.已知数列na满足12100...,1nnaaaaaa)1(n，则该数列的通项公式为_____121n____________2.数列na中，5323211,...2,1aanaaaanan在时，当____1661_______二：等差数列（1）定义：文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做公差，通常用d表示。数学语言（定义式）：daann1,Nn（2）通项公式：dnaan)1(1)(1dadnan推导方法：累加法，迭代法第2页（3）广义的通项公式：dmnaamn)(dmnaamn(4)“下标等和”性质：在等差数列中，若qpnm则qpmnaaaa特别地，pmnaaapmn22则若（5）等差数列的前n项和公式：推导方法（倒序相加法）2)(1nnaans2)(1mnmnaans2)1(1dnnnasnndandsn)2(212（6）①“片段和”性质：在等差数列na中，ns，nnss2，nnss23……也成等差数列。②若na，nb都是等差数列，则有1212nnnnTSba推导：12121211211211212))(12(2))(12(22nnnnnnnnnnTSbbnaanbbaababa1.在等差数列na中，9171,25SSa,求nS的最大值.答案13S=1692.等差数列na中，1291,0SSa，该数列前多少项的和最少？答案n=8或93.已知等差数列na的前n项和为n35340,0,SSSSn则若中最大的是___17S___4.若na是等差数列，首项,0,0,0242324231aaaaa，则使前n项和0nS成立的最大自然数n是____46_____5.等差数列na中，nSaaa,,0101110且为数列na的前n项和，则使0nS的最小值为_______20__________二：等比数列（1）定义：文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做公比，通常用q表示。第3页数学语言（定义式）：qaann1,Nn(2)通项公式：11nnqaannqqaa1推导方法：累乘法，迭代法(3)广义的通项公式：mnmnqaamnmnqaa(4)“下标等和”性质：在等比数列中，若qpnm则qpmnaaaa特别地，22pmnaaapmn则若（5）等比数列na的前n项和公式：推导方法（错位相减法）当1q时qqasnn1)1(1nnqqaqas1111qqaasnn11，（1q）当q=1时，na是常数列，1nasn（6）①“片段和”性质：在等比数列na中，ns，nnss2，nnss23……也成等比数列。数列通项公式的求法几种常见的数列的通项公式的求法一．观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）,17164,1093,542,211（3）,52,21,32,1（4）,54,43,32,21解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：110nna（2）;122nnnan（3）;12nan（4）1)1(1nnann.点评：关键是找出各项与项数n的关系。第4页二、公式法例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d=4，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴2213)2(qqbb=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1例1.等差数列na是递减数列，且432aaa=48，432aaa=12，则数列的通项公式是（）(A)122nan(B)42nan(C)122nan(D)102nan解析：设等差数列的公差位d，由已知12348)()(3333adaada，解得243da，又na是递减数列，∴2d，81a，∴)2)(1(8nan102n，故选(D)。例2.已知等比数列na的首项11a，公比10q，设数列nb的通项为21nnnaab，求数列nb的通项公式。解析：由题意，321nnnaab，又na是等比数列，公比为q∴qaaaabbnnnnnn21321，故数列nb是等比数列，)1(211321qqqaqaaab，∴)1()1(1qqqqqbnnn点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。解易知,121naann∵,312aa,523aa,734aa……,121naann各式相加得)12(7531naan∴)(52Nnnan点评：一般地，对于型如)(1nfaann类的通项公式，只要)()2()1(nfff能进行求和，则宜采用此方法求解。例4.若在数列na中，31a，naann1，求通项na。解析：由naann1得naann1，所以11naann，第5页221naann，…，112aa，将以上各式相加得：1)2()1(1nnaan，又31a所以na=32)1(nn四、叠乘法例4：在数列｛na｝中，1a=1,(n+1)·1na=n·na，求na的表达式。解：由(n+1)·1na=n·na得11nnaann，1aan=12aa·23aa·34aa…1nnaa=nnn11433221所以nan1例4.已知数列na中，311a，前n项和nS与na的关系是nnannS)12(，试求通项公式na。解析：首先由nnannS)12(易求的递推公式：1232,)32()12(11nnaaanannnnn5112521221aannaann将上面n—1个等式相乘得：.)12(12(1)12)(12(357)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1nnannnnnnnnaann点评：一般地，对于型如1na=f(n)·na类的通项公式，当)()2()1(nfff的值可以求得时，宜采用此方法。五、Sn法利用1nnnSSa(n≥2)例5：已知下列两数列}{na的前n项和sn的公式，求}{na的通项公式。（1）13nnSn。（2）12nsn解：（1）11111Sana=1nnSS=1)1()1()1(33nnnn=3232nn此时，112Sa。∴na=3232nn为所求数列的通项公式。（2）011sa，当2n时12]1)1[()1(221nnnssannn由于1a不适合于此等式。∴)2(12)1(0nnnan点评：要先分n=1和2n两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。六、待定系数法：第6页例6：设数列}{nc的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设1)1(nnbqdnac132211121237242nnncabdqbqdabqdabqdaba例6.已知数列nc中，bbc11，bbcbcnn11，其中b是与n无关的常数，且1b。求出用n和b表示的an的关系式。解析：递推公式一定可表示为)(1nncbc的形式。由待定系数法知：bbb1)1(1,1,12122bbcbbbcbbbnn故数列21bbcn是首项为112221bbbbc，公比为b的等比数列，故111121211222bbbcbbbbbbbcnnnnn点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{na为等差数列：则cbnan，cnbnsn2（b、ｃ为常数），若数列}{na为等比数列，则1nnAqa，)1,0(qAqAAqsnn。七、辅助数列法例7：已知数}{na的递推关系为121nnaa，且11a求通项na。解：∵121nnaa∴)1(211nnaa令1nnab则辅助数列}{nb是公比为2的等比数列∴11nnqbb即nnnqaa2)1(111∴12nna例5.在数列na中，11a，22a，nnnaaa313212，求na。解析：在nnnaaa313212两边减去1na，得)(31112nnnnaaaa∴nnaa1是以112aa为首项，以31为公比的等比数列，∴11)31(nnnaa，由累加法得第7页na=112211)()()(aaaaaaannnn=2)31(n3)31(n…11)31(=311)31(11n=1])31(1[431n=1)31(4347n例8：已知数列｛na｝中11a且11nnnaaa（Nn），，求数列的通项公式。解：∵11nnnaaa∴11111nnnnaaaa，设nnab1，则11nnbb故｛nb｝是以1111ab为首项，1为公差的等差数列∴nnbn)1(1∴nbann11点评：这种方法类似于换元法,主要用于已知递推关系式求通项公式。利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如)(1nfaann型（1）若f(n)为常数,即：daann1,此时数列为等差数列，则na=dna)1(1.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由)(1nfaann得：2n时，)1(1nfaann，)2(21nfaann，)2(23faa)1(12faa所以各式相加得)1()2()2()1(1ffnfnfaan即：111)(nknkfaa.为了书写方便，也可用横式来写：2n时，)1(1nfaann，112211)()()(aaaaaaaannnnn