数列中an与sn的关系探究

引言如果知道an与Sn之间的关系式，能否求an或Sn呢？我们前面学过等差数列、等比数列，可以由an→Sn，如等差数列中有等比数列中有还可以由Sn→an，如已知可以求an。1()2nnnaaS1(1)1nnaaqSqq22nSnn南京市第九中学易雪梅nnaS的数列中与关系探究{}31nnnnanSaa若数列的前项和，求该数列的通例项1：。典型例题数学解题的四个步骤：•理解问题•拟定计划•实现计划•回顾与检验——乔治·波利亚《怎样解题》{}31nnnnanSaa若数列的前项和，求该数列的通例项1：。这是一个什么类型的问题？na求数列通项如何实现从条件到结论的转化？nSna转化怎样转化？11n=1n2nnnSaSSnnaS已知条件为与的关系式类型特征解：1111,31naSa当时，112a得；12,nnnnaSS当时131(31)nnaa133nnnaaa即123nnaa132nnaa，则有13{}22na数列是首项为，公比为的等比数列113()22nna所以，{}31nnnnanSaa若数列的前项和，求该数列的通例项1：。问题演变12-1{}3,=nnnnnnanSaSSaa已知正项数列的前项和为，且（n2），求该数变列的通项式：。nSna转化怎样将和式转化为通项？11n=1n2nnnSaSS两式相减条件中隐含2121nnnSSa12-1{}3,=nnnnnnanSaSSaa已知正项数列的前项和为，且（n2），求该数变列的通项式：。解：21(1)nnnSSa(1)－(2)得2121(2)nnnSSa(3)n2211nnnnaaaa即111()()nnnnnnaaaaaa则1{}0nnnaaa因为为正项数列，所以，11nnaa则{}1na数列从第二项起是公差为的等差数列。3n=11n2nan所以，2212122223,,3.aSSaaaa又所以-6=0，即23(2)1,nnann所以当时，2101aa挖掘条件，得到新式，两式相减，“作差”将“和”转化为“项”(3)n12-1{}3,=nnnnnnanSaSSaa已知正项数列的前项和为，且（n2），求该数变列的通项式：。nSna转化{}na思考：能说明数列是等差数列吗？{}nnnaSa已知与的关系，研究数列相关问题如何实现从条件到结论的转化？nSna转化11n=1n2nnnSaSS挖掘条件，得到新式（与条件相邻），作差将“和”转化为“项”之间的关系将Sn转化为an的最常用的方法题后反思直接代入Sn和Sn-1，将“和”转化为“项”之间的关系直接代入作差消元3{}2nnnnanSaa1、如果数列的前项和为=-3，则类题演练163nna【答案】121{}2nnnnaanSaa2、数列中，已知，其前项和为=n，则类题演练22nann【答案】11,.1nnnanaan（提示：由条件易得用累加法求通项）2{}nnnnnnanSnSaaa3、设数列的各项都为正数，其前项和为，对任意N,是与的等差中项，求。类题演练nan【答案】典型例题11{}12nnnnnaaanSSS已知数列中=，前项和满足=2（例n2：）1nnSS（1）试问数列是什么数列？（2）求。这是一个什么类型的问题？如何实现从条件到结论的转化？nSna11,nnnnnaSSSS将转化为条件转化为与的关系式。Sn求数列和式类型特征nnaS已知条件中有与的关系式11{}12nnnnnaaanSSS已知数列中=，前项和满足=2（例n2：）1nnSS（1）试问数列是什么数列？（2）求。解：2n()1nnnaSS由=2得11nnnnSSSS=2111nnSS则有-=2，111nnSS即-=-21{}2nS数列是公差为的等差数列。1nS所以=1-2(n-1)=3-2n，nS1即=3-2n11S首项111a11{}12nnnnnaaanSSS已知数列中=，前项和满足=2（例n2：）1nnSS（1）试问数列是什么数列？（2）求。2n()nSna转化112{}1.nnnnnnnanSaaSnSSn1、数列的前项和为，已知，，试问数列是什么数列，并求类题演练nSn【答案】数列是首项为1，公比为2的等比数列12nnSn211{},121nnnnnanSaSnannnSn2、数列的前项和为，已知==-(),判断数列是否为等比数列。类题演练1nnSn【答案】数列是公差为1的等差数列。11121nnnnSSnnn（提示：由条件易得（））nnaS数列中与的关系nSna统一变量形式，实现化简目的“和”变“项”“项”变“和”挖掘条件得到新式，两式相减，“作差”将“和”转化为“项”