高中数学 §2.2 等差数列A 新人教A版必修5

第二章数列§2.2等差数列1.1+2+3+···+100=?高斯，(1777—1855）德国著名数学家。得到数列1，2，3，4，…，100问题情景一高斯是德国数学家，也是天文学家和物理学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。2姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：6000，第二天：6500，第三天：7000，第四天：7500，第五天：8000，第六天：8500，第七天：9000.得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000问题情景二3.匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）问题情景三,2124212321252122，23，，24，25，，26，212421252122，23，，24，，25，，26，得到数列，264姚明罚球个数的数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000发现？观察：以上数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。高斯计算的数列：1，2，3，4，…，100观察归纳2124212321252122，23，，24，25，，26运动鞋尺码的数列21222123,212421255一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。等差数列定义②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000公差d=1公差d=5002124212321252122，23，，24，，25，，26③公差d=21①1，2，3,…,100；6一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。等差数列定义数学语言：an-an-1=d（d是常数，n≥2，n∈N*）或an+1－an=d（d是常数,n∈N*）72、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由。想一想公差是03、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由。不是1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，则公差是多少?若不是，说明理由。公差是-28想一想小结：1、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断an+1-an是不是同一个常数。2、公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0。9练习：已知等差数列的首项为12，公差为－5，试写出这个数列的第2项到第5项．解:121a5d由于，因此2112(5)7,aad=+=+-=327(5)2,aad=+=+-=432(5)3,aad=+=+-=-543(5)8.aad=+=-+-=-10在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2，()，4（2）-12，()，03-6如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。2baA2ab212nnnaaa思考(3),(),ab11问题情景四观察数列：1，3，5，7，…思考：在数列中a100=？我们该如何求解呢？如何求一般等差数列的通项公式？12设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…所以有：a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d……an=a1+(n-1)d问an=?通过观察：a2，a3，a4都可以用a1与d表示出来；an与d的系数有什么特点？当n=1时，上式也成立。归纳：13等差数列的通项公式：首项为a1,公差为d的等差数列｛an｝的通项公式:an=a1+(n－1)da1、an、n、d知三求一an=am+(n-m)d(n,m∈N*)变形等差数列通项公式的归纳14例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）判断-401是不是等差数列–5,-9,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析：（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20。解：(1)由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20∴这个数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d=-3n+11∴a20=11-3×20=-4915例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）判断-401是不是等差数列–5,-9,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析：（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得：a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴这个数列的通项公式是：an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1令-401=-4n-1,得n=100∴-401是这个数列的第100项。16解：由题意可得∴d=2，a1=2∴an=2+(n-1)×2=2n例2、在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36,求通项公式ana1+5d=12a1+17d=3617求基本量a1和d：根据已知条件列方程，由此解出a1和d，再代入通项公式。像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。题后点评求通项公式的关键步骤：18例2、在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36,求通项公式an思考：你还能想到解决该问题的其它解法吗？解法二：∵a6=12，a18=36，a18=a6+(18-6)d∴36=12+12d∴d=2∴an=a6+(n-6)d=12+(n-6)×2=2n19已知数列的通项公式是（为常数），那么这个数列为等差数列吗？napnqna,pq等差数列与一次函数的关系探究：20等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345678910123456789100●●●●●●●()nafn21等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，…12345678910123456789100●●●●22等差数列的图象3（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●23直线的一般形式：ykxb等差数列的通项公式为：1()nadnadnapnq等差数列的图象为相应直线上的点。24等差数列的有关性质探究：*1.mnpqmnpqmnpqNaaaa若（、、、），则；2342.{}nkkmkmkmkmaaaaaa等差数列中，下标成等差数列的项：，，，，，仍成等差数列；3.{}{nnaa若是等差数列，则+b}（，b为常数）仍为等差数列；255.{}{}{}{}nnnnaaaa若是等差数列，公差是d，则（1）d0时,为递增数列;(2)d0时,为递减数列;(3)d=0时,为常数数列.4.{}{{nnnaban若和}是等差数列，则b}也是等差数列；26