人教版高中数学选修1-2 直接证明与间接证明 课件1

2．2直接证明与间接证明1．知识与技能了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2．过程与方法进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异．本节重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点．本节难点：运用综合法和分析法解答问题．从实际问题中命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结果的真实性，从证明过程上认识分析法和综合法的推理过程，学会用分析法和综合法证明实际问题，并且理解分析法和综合法之间的内在联系．一、综合法1．对综合法的理解简言之，综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．由此可见，综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的结论成立．2．综合法的特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找“已知”的必要条件．二、分析法1．分析法的定义及其理解一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫分析法．可见分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法．2．分析法的特点从“未知”看“需知”，再逐步靠近“已知”．3．分析法与综合法的区别与联系(1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明方法就是综合法．综合法分析法定义利用和某些数学、、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件)、、、等)，这种证明方法叫做分析法框图表示(P表示、已有的、、等，Q表示)特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法已知条件定义定理公理推理论证结论出发充分条件定理定义公理已知条件定义定理公理所要证明的结论[例1]已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.[分析]由题目可获取以下主要信息：①a，b是正数且a＋b＝1；②求证的是1a＋1b≥4.解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[证明]方法一：∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴ab≤14，1ab≥4.∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.方法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab＞0，1a＋1b≥21ab＞0，∴(a＋b)(1a＋1b)≥4.又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.方法三：1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．[点评]1.综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．2．综合法证明不等式依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，(a＋b2)2≥ab，a2＋b2≥(a＋b)22.第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．③若a、b∈(0，＋∞)，则a＋b2≥ab，特别是ba＋ab≥2.本例已知条件不变，求证：(a＋1a)(b＋1b)≥254.[证明]∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab，∴ab≤14.∴(a＋1a)(b＋1b)－254＝a2＋1a·b2＋1b－254＝4a2b2－33ab＋84ab＝(1－4ab)(8－ab)4ab≥0.∴(a＋1a)(b＋1b)≥254.[例2]设a，b为实数，求证a2＋b2≥22(a＋b)．[证明]当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．当a＋b＞0时，用分析法证明如下：要证a2＋b2≥22(a＋b)，只需证(a2＋b2)2≥[22(a＋b)]2.即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．[点评](1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．当a≥2时求证：a＋1－a＜a－1－a－2.[证明]要证a＋1－a＜a－1－a－2，只需证a＋1＋a－2＜a＋a－1，只需证(a＋1＋a－2)2＜(a＋a－1)2，只需证a＋1＋a－2＋2(a＋1)(a－2)＜a＋a－1＋2a(a－1)，只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)，只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)，即证－2＜0，而－2＜0显然成立，所以a＋1－a＜a－1－a－2成立．[例3]已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1.求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2＜logxa＋logxb＋logxc.[分析]由题目可获取以下主要信息：①a、b、c是不全相等的三个正数；②所求的不等式是以对数形式给出且底数0＜x＜1.解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成证明整式不等式．[解析]要证明：logxa＋b2＋logxa＋b2＋logxa＋c2＜logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logx(a＋b2·b＋c2·a＋c2)＜logx(abc.)由已知0＜x＜1，只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2＞abc.由公式a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2≥ac＞0.又∵a，b，c是不全相等的正数，∴a＋b2·b＋c2·a＋c2＞a2b2c2＝abc.即：a＋b2·b＋c2·a＋c2＞abc成立．∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2＜logxa＋logxb＋logxc成立．[点评]综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．设a，b是相异的正数，求证：关于x的一元二次方程(a2＋b2)x2＋4abx＋2ab＝0没有实数根．[证明]要证明(a2＋b2)x2＋4abx＋2ab＝0没有实数根，只需证△＜0即可．∵△＝(4ab)2－4(a2＋b2)·2ab＝16a2b2－8a3b－8b3a＝8ab(2ab－a2－b2)＝－8ab(a2－2ab＋b2)＝－8ab(a－b)2.∵a、b是相异的正数，∴ab＞0，(a－b)2＞0，∴－8ab(a－b)2＜0，∴该一元二次方程没有实数根．[例4]已知函数f(x)＝tanx，x∈0，π2，若x1，x2∈0，π2，且x1≠x2.求证：12[f(x1)＋f(x2)]fx1＋x22.[证明]欲证12[f(x1)＋f(x2)]fx1＋x22，即证12(tanx1＋tanx2)tanx1＋x22，只需证12sinx1cosx1＋sinx2cosx2sinx1＋x22cosx1＋x22，即证12×sin(x1＋x2)cosx1cosx2sin(x1＋x2)2cos2x1＋x22＝sin(x1＋x2)1＋cos(x1＋x2).因为x1，x2∈0，π2，所以x1＋x2∈(0，π)，所以sin(x1＋x2)0,1＋cos(x1＋x2)0，cosx1cosx20，所以只需证1＋cos(x1＋x2)2cosx1cosx2，即证cos(x1－x2)1.因为x1，x2∈0，π2，且x1≠x2，所以cos(x1－x2)1显然成立，所以原不等式成立．[点评]本题主要考查了三角函数与不等式证明的综合应用，题目中的条件与结论之间的关系不明显，因此可以用分析法挖掘题目中的隐含条件，在证明过程中注意分析法的格式与步骤．对于与三角函数有关的证明题，在证明过程中注意角的取值范围及三角恒等变形公式的灵活应用．[例5]设a＋b＞0，n为偶数，求证bn－1an＋an－1bn≥1a＋1b.[误解]bn－1an＋an－1bn－1a－1b＝(an－bn)(an－1－bn－1)(ab)n.∵n为偶数，∴(ab)n＞0.又∵an－bn和an－1－bn－1同号，∴bn－1an＋an－1bn－1a－1b＞0，∴bn－1an＋an－1bn＞1a＋1b.[辨析]当n为偶数时，an－bn和an－1－bn－1不一定同号，这里忽略了在题设条件a＋b＞0的情况下，应分a＞0且b＞0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论．[正解]bn－1an＋an－1bn－1a－1b＝(an－bn)(an－1－bn－1)(ab)n.①当a＞0，b＞0，a＋b＞0时，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n＞0，∴(an－bn)(an－1－bn－1)(ab)n≥0，∴bn－1an＋an－1bn≥1a＋1b.②当a，b有一个为负值时，不妨设a＞0，b0，且a＋b＞0，∴a＞|b|.∴(ab)n＞0，an＞0，bn＞0，an－1＞0，bn－1＜0，故anbn＞0，an－1－bn－1＞0，∴(an－bn)(an－1－bn－1)(ab)n≥0∴bn－1an＋an－1bn≥1a＋1b∴由①②知结论成立．一、选择题1．a0，b0，则下列不等式中不成立的是()A．a＋b＋1ab≥22B．(a＋b)1a＋1b≥4C.a2＋b2ab≥a＋bD.2aba＋b≥ab[解析]∵a0，b0，∴2aba＋b≤ab[答案]D2．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是()A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C.1a＋1b＋1c≥23D．abc(a＋b＋c)≤13[答案]B[解析]∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2≥3.3．下面叙述正确的是()A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的[答案]A[解析]在分析法中的语气即有肯定又有否定两种证明方法均是直接证明．4．A、B为△ABC的内角，∠A＞∠B是sinA＞sinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]∵A＞B∴a＞b，又asinA＝bsinB＝2R，∴2RsinA＞2RsinB，∴sinA＞sinB，反之亦然．二、填空题5．设a0，b0，c0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．[答案]9[解析]∵a0，b0，c0，a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2ba·ab＋2ca·ac＋2cb·bc＝9当且仅当a＝b＝c＝13时等号成