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运动型问题【题型特征】用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强.运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的运动);(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等).【解题策略】解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识.三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确.类型一点的运动典例1(2015·江西)如图(1),AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是☉O上半部分的一个动点,连接OP,CP.(1)求△OPC的最大面积;(2)求∠OCP的最大度数;(3)如图(2),延长PO交☉O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:CP是☉O的切线.(1)(2)【全解】(1)∵AB=4,∴OB=2,OC=OB+BC=4.在△OPC中,设OC边上的高为h,∴当h最大时,S△OPC取得最大值.观察图形,当OP⊥OC时,h最大,如图(1)所示:(1)此时h=半径=2,S△OPC=22=4.∴△OPC的最大面积为4.(2)当PC与☉O相切时,∠OCP最大.如图(2)所示:(2)∴∠OCP=30°.∴∠OCP的最大度数为30°.(3)如图(3),连接AP,BP.(3)∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD.∵=,∴=.∴AP=BD.∵CP=DB,∴AP=CP.∴∠A=∠C.∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C.在△ODB与△BPC中,∴△ODB≌△BPC(SAS).∴∠D=∠BPC.∵PD是直径,∴∠DBP=90°.∴∠D+∠BPD=90°.∴∠BPC+∠BPD=90°.∴DP⊥PC.∵DP经过圆心,∴PC是☉O的切线.【技法梳理】本题是一道单质点的运动问题.考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.(1)在△OPC中,底边OC长度固定,因此只要OC边上高最大,则△OPC的面积最大;观察图形,当OP⊥OC时满足要求;(2)PC与☉O相切时,∠OCP的度数最大,根据切线的性质即可求得;(3)连接AP,BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC,从而求得PC是☉O的切线.举一反三1.(2015·黑龙江牡丹江)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.(1)求线段CD的长.(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?(第1题)【小结】解题要点是(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类讨论的数学思想,避免漏解.类型二线的运动典例2(2015·广东)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD于点E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t0).备用图(1)当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形.(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长.(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)如图(1)所示,利用菱形的定义证明;(2)如图(2)所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;(3)如图(3)(4)(5)所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.【全解】(1)当t=2时,DH=AH=4,则H为AD的中点,如图(1)所示.(1)∵EF⊥AD,∴EF为AD的垂直平分线.∴AE=DE,AF=DF.∵AB=AC,AD⊥BC于点D,∴AD⊥BC,∠B=∠C.∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C.∴∠AEF=∠AFE.∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.(2)如图(2)所示,由(1)知EF∥BC,(2)∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.(3)存在.理由如下:①若点E为直角顶点,如图(3)所示,(3)此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.∵PE∥AD,此比例式不成立,故此种情形不存在.②若点F为直角顶点,如图(4)所示,(4)此时PF∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10-3t.∵PF∥AD,.③若点P为直角顶点,如图(5)所示.(5)过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.∵EM∥AD,【技法梳理】这是一道“线平移型”动态问题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.举一反三2.(2015·湖南衡阳)如图,直线AB与x轴相交于点A(-4,0),与y轴相交于点B(0,3),点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动.同时,将直线以每秒0.6个单位长度的速度向上平移,交OA于点C,交OB于点D,设运动时间为t(0t5)秒.(1)证明:在运动过程中,四边形ACDP总是平行四边形;(2)当t取何值时,四边形ACDP为菱形?请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由.(第2题)【小结】这是一道“线运动型”的动态几何问题,线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化(如三角形、平行四边形等),问题常以求图形面积的最值,或者探究运动过程中是否存在某一特殊位置的形式出现.解决此类问题时,一是要选择适当的求图形面积的方法.若是规则图形,可以直接选择面积公式计算;若是不规则图形,一般情况下选择割补法,通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决;二是要根据线段的运动变化过程,探究其他图形的运动变化规律.有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形,确定线段运动变化的不同阶段,从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置.类型三面的运动典例3(2015·甘肃天水)如图(1),在平面直角坐标系中,点A(0,-6),点B(6,0).Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=4,DE=4,直角边CD在y轴上,且点C与点A重合.Rt△CDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题:(1)如图(2),当Rt△CDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求∠BME的度数.(2)如图(3),在Rt△CDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长.(3)在Rt△CDE的运动过程中,设AC=h,△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数表达式,并求出面积S的最大值.(1)(2)(3)【全解】(1)如图(1),(1)∵在平面直角坐标系中,点A(0,-6),点B(6,0).∴OA=OB.∴∠OAB=45°.∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,∴∠OCE=60°.∴∠CMA=∠OCE-∠OAB=60°-45°=15°.∴∠BME=∠CMA=15°.(2)如图(2),(2)∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,∴∠OBC=∠DEC=30°.∵OB=6,∴BC=4.(3)①h≤2时,如图(3),作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,且OE交AB于点k.(3)∵CD=4,DE=4,AC=h,AN=NM,∴CN=4-FM,AN=MN=4+h-FM.∵△CMN∽△CED,【技法梳理】本题是一道面平移型动态问题.综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理,难度较大.对于第(3)题这类有关于动态问题,需要分类讨论,以防漏解有一定的难度.(1)如图(1),由对顶角的定义知,∠BME=∠CMA,所以欲求∠BME的度数,需求∠CMA的度数.根据三角形外角定理进行解答即可;(2)如图(2),通过解直角△BOC来求BC的长度;(3)需要分类讨论:①h≤2时,如图(4),作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,S=S△EDC-S△EFM;②当h≥2时,如图(3),S=S△OBC.举一反三3.(2015·福建三明)如图(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合,OD交BC于点F,OE经过点C,且∠DOE=∠B.(1)证明△COF是等腰三角形,并求出CF的长;(2)将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转,OD,OE与边AC分别交于点M,N(如图(2)),当CM的长是多少时,△OMN与△BCO相似?(1)(2)备用图(第3题)【小结】解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)不改变、那些图形随之变化,即确定运动变化过程中图形中的变与不变,充分利用不变量来解决问题;二是要运用好相应的几何知识;三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁,结论更加准确.类型一1.(2015·贵州贵阳)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0t8),则t=秒时,S1=2S2.(第1题)(第2题)类型二3.(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.(1)求y与x之间的函数表达式;(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式;(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请