数列求和 测试题 练习题

数列求和测试题A级基础题1．数列{1＋2n－1}的前n项和Sn＝________.2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝________.3．数列112，314，518，7116，…的前n项和Sn＝________.4．已知数列{an}的通项公式是an＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数n＝________.5．数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项的和为________．6．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝________.7．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列1bnbn＋1的前n项和Sn＝________.二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．9．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.10．已知首项不为零的数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的r，t∈N*，都有SrSt＝rt2.(1)判断{an}是否是等差数列，并证明你的结论；(2)若a1＝1，b1＝1，数列{bn}的第n项是数列{an}的第bn－1项(n≥2)，求bn；(3)求和Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn.B级创新题1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列1an的前5项和为________．2．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1的结果可化为________．3．数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n项和Sn＝________.4．在等比数列{an}中，a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为________．6．等差数列{an}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，数列{Tn}满足条件Tn＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则Tn＝________.7．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn.8．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2＝2a1＋3，且3a2，a4,5a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn.参考答案A组1.解析Sn＝n＋1－2n1－2＝n＋2n－1.答案n＋2n－12.解析设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.答案153.解析由题意知已知数列的通项为an＝2n－1＋12n，则Sn＝n1＋2n－12＋121－12n1－12＝n2＋1－12n.答案n2＋1－12n4.解析∵an＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.令n＋1－1＝10，得n＝120.答案1205.解析由题意知{an＋bn}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：S20＝20a1＋b1＋a20＋b202＝20×5＋7＋602＝720.答案7206.解析当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a2n＝4n－1.∴数列{a2n}是以a21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a21＋a22＋…＋a2n＝1·1－4n1－4＝13(4n－1)．答案13(4n－1)7.解析设等比数列{an}的公比为q，则a4a1＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以1bnbn＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1.则数列1bnbn＋1的前n项和为1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.答案nn＋18.解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3＝－6，a6＝0，所以a1＋2d＝－6，a1＋5d＝0.解得a1＝－10，d＝2.所以an＝－10＋(n－1)·2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3.所以{bn}的前n项和公式为Sn＝b11－qn1－q＝4(1－3n)．9.解(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)(2)Sn＝21－2n1－2＋n×1＋nn－12×2＝2n＋1＋n2－2.10.解(1){an}是等差数列．证明如下：因为a1＝S1≠0，令t＝1，r＝n，则由SrSt＝rt2，得SnS1＝n2，即Sn＝a1n2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)a1，且n＝1时此式也成立，所以an＋1－an＝2a1(n∈N*)，即{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列．(2)当a1＝1时，由(1)知an＝a1(2n－1)＝2n－1，依题意，当n≥2时，bn＝abn－1＝2bn－1－1，所以bn－1＝2(bn－1－1)，又b1－1＝2，所以{bn－1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以bn－1＝2·2n－1，即bn＝2n＋1.(3)因为anbn＝(2n－1)(2n＋1)＝(2n－1)·2n＋(2n－1)Tn＝[1·2＋3·22＋…＋(2n－1)·2n]＋[1＋3＋…＋(2n－1)]，即Tn＝[1·2＋3·22＋…＋(2n－1)·2n]＋n2，①2Tn＝[1·22＋3·23＋…＋(2n－1)·2n＋1]＋2n2，②②－①，得Tn＝(2n－3)·2n＋1＋n2＋6.B组1.解析设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1，且91－q31－q＝1－q61－q，解得q＝2，所以数列1an是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝3116.答案31162.解析an＝2n－1，设bn＝1anan＋1＝122n－1，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12＋123＋…＋122n－1＝121－14n1－14＝231－14n.答案231－14n3.解析由于数列的通项an＝11＋2＋3＋…＋n＝2nn＋1＝21n－1n＋1，∴Sn＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝21－1n＋1＝2nn＋1.答案2nn＋14.解析∵a4a1＝q3＝－8，∴q＝－2.∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝121－2n1－2＝2n－1－12.答案－22n－1－125.解析因S11＝35＋S6，得11a1＋11×102d＝35＋6a1＋6×52d，即a1＋8d＝7，所以S17＝17a1＋17×162d＝17(a1＋8d)＝17×7＝119.答案1196.解析设{an}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，得a22＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)所以d＝2或d＝0(舍去)．所以an＝7＋(n－4)×2＝2n－1.又a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，故Tn＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案2n＋2－n－47.解(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且1＋2d＋q4＝21，1＋4d＋q2＝13，解得d＝2，q＝2.所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.(2)anbn＝2n－12n－1，Sn＝1＋321＋522＋…＋2n－32n－2＋2n－12n－1，①2Sn＝2＋3＋52＋…＋2n－32n－3＋2n－12n－2.②②－①，得Sn＝2＋2＋22＋222＋…＋22n－2－2n－12n－1＝2＋2×1＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n－1＝2＋2×1－12n－11－12－2n－12n－1＝6－2n＋32n－1.8.解(1)设{an}公比为q，由题意，得q＞0，且a2＝2a1＋3，3a2＋5a3＝2a4，即a1q－2＝3，2q2－5q－3＝0.解得a1＝3，q＝3或a1＝－65，q＝－12(舍去)．所以数列{an}的通项公式为an＝3·3n－1＝3n，n∈N*.(2)由(1)可得bn＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n.所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n.所以3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1两式相减，得2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－31－3n1－3＋n·3n＋1＝3＋2n－1·3n＋12.所以数列{anbn}的前n项和为Sn＝3＋2n－1·3n＋14.