数列求和 经典练习题(含答案解析)

1.在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34＝20a1＋190d＝5(4a1＋38d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17S20＝1702.已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．解法一设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由已知可得由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4再由d＞0，得d＝2∴a1=－10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180解法二由等差数列的性质可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4又a3·a7=－12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2又＝＋×S20ad20120192解法二S=(a+a)202=10(aa)20120120×＋(a2d)(abd)12a3da5d=41111＋＋＝－①＋＋＋－②∵d＞0∴{an}是递增数列∴a3＝－6，a7=23.等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n(m＞n)，求前m＋n项和Sm+n．解法一设{an}的公差d按题意，则有=－(m＋n)解法二设Sx＝Ax2＋Bx(x∈N)①－②，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m∵m≠n∴A(m＋n)＋B=－1故A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)即Sm+n＝－(m＋n)4.设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，d=a=2a10S1807120a373，＝－，＝SnadmSmadn(mn)ad=nmn1m11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－nnmmmnmn()()()()121212即＋－∴··ad=11mnSmnamnmndmnamndmn12121211()()()()()AmBmnAnBnm22＋＝①＋＝②bbyb234，，，均为等差数列，求．bbaa43215.在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．且Sm＝Sn，m≠n∴Sm+n＝06.在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值．∵a1=25，S17＝S9解得d＝－2∴当n=13时，Sn最大，最大值S13＝169解法二因为a1=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{an}是递减等分析解d=yx51(1)=yx52(2)可采用＝由aamnaabbmn21433264(2)(1)÷，得bbaa432183解S(mn)a(mn)(mn1)d(mn)[a(mn1)d]m+n11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－mam(m1)dnan(n1)d(mn)a(mn)(mn1)=011112122d即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(mn)[a(mn1)d]=0mna(mn1)d0111212根据题意：＋×，＝＋×S=17adS9ad1719117162982∴＝＋－－＋－－＋S25n(2)=n26n=(n13)169n22nn()12∵a1＝25，S9＝S17∴an=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{an}是等差数列∴可设Sn＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴取n=13时，S13＝169最大差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．na0a0nnn+1∴×＋××＋×，解得－9252d=1725dd=29817162∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13∴对称轴x=9+172=137．求数列的通项公式：(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0思路：转化为等比数列．∴{an＋1}是等比数列∴an＋1=3·3n-1∴an=3n－1∴{an+1－an}是等比数列，即an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到+2说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{an＋1}是等比数列，(2)中发现{an+1－an}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．8.三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2由已知：a，aq＋4，aq2成等差数列即：2(aq＋4)=a＋aq2①a，aq＋4，aq2＋32成等比数列即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)解(1)a=3a2a1=3(a1)n+1nn+1n＋＋＋(2)a3a2a=0aa=2(aa)n+2n+1nn+2n+1n+1n－＋－－a=3[1222]=3=3(21)n2n-2n1＋＋＋…＋·－21211naq2=4a＋②解法二按等差数列设三个数，设原数列为b－d，b－4，b＋d由已知：三个数成等比数列即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)b－d，b，b＋d＋32成等比数列即b2=(b－d)(b＋d＋32)解法三任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3由已知：a1，a2，a3成等比数列a1，a2＋4，a3成等差数列得：2(a2＋4)=a1＋a3②a1，a2＋4，a3＋32成等比数列得：(a2＋4)2=a1(a3＋32)③①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a=2q=3a=29q=52618291095098bd=162－①32bd32d=02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b=269d=83b=10d=8261829109509得：①a=aa2213说明将三个成等差数列的数设为a－d，a，a＋d；将三个成简化计算过程的作用．9.证∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1S2n=Sn＋(a1qn＋a1qn+1＋…＋a1q2n-1)=Sn＋qn(a1＋a1q＋…＋a1qn-1)=Sn＋qnSn=Sn(1＋qn)类似地，可得S3n=Sn(1＋qn＋q2n)说明本题直接运用前n项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与Sn的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧．10．数列{an}是等比数列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n．解法一利用等比数列的前n项和公式若q=1，则Sn=na1，即na1=48，2na1=96≠60，所以q≠1①、②、③式联立，解得：或a=29a=109a=509a=2a=6a=18123123等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到aaqaq(aaq)2aq【例2】求证：对于等比数列，有＋＋．SS=S(SS)n22n2n2n3n∴＋＋＋＋S+S=S[S(1q)]=S(22qq)n22n2n2nn2n2n2nS(SS)=S[S(1q)S(1qq)]=S(22qq)SS=S(SS)n2n3nnnnnn2nn2n2nn22n2n2n3n＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋∵S=a(1q)1n1nq=Sn(1＋qn＋q2n)解法二利用等比数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列∴(60－48)2=48·(S3n－60)∴S3n=63．解法三取特殊值法取n=1，则S1=a1=48，S2n=S2=a1＋a2=60∴a2=12∵{an}为等比数列S3n=S3=a1＋a2＋a3=6311．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an＋2(n∈N*)，a1=1(1)设bn=an+1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比数列；解(1)∵Sn+1=4an＋2Sn+2=4an+1＋2S=a(1)a(1)(1+)1q2n11qqqqSqnnnnn211()∴q=14S=a(1q)1qn3n13naqqqqnnn12111()()∴S=48(1+116)=633n14∴q=aaa=321314(2)c=a2(nN*){c}nnnn设∈，求证：数列是等差数列．两式相减，得Sn+2－Sn+1=4an+1=4an(n∈N*)即：an+2=4an+1－4an变形，得an+2－2an+1=2(an+1－2an)∵bn=an+1－2an(n∈N*)∴bn+1=2bn由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列．由S2=a1＋a2=4a1＋2，a1=1可得a2=5，b1=a2－2a1=3∴bn=3·2n-1将bn=3·2n-1代入，得说明利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决(2)c=a2(nN*)c=b2nnnn+1nn+1∵∈∴caaaannnnnnnn11112222cc=34(nN*)n+1n－∈由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项，故＋－·即：{c}d=34c=a2c=(n1)C=34n11nn12123414n