数列求和―错位、裂项

广西灵山中学苏焕贵中央电视台的《开心辞典》栏目，有一次的最后一题是：“给出一组数1，3，6，10，15…，则第7个数是什么？”你认为第7个数是.那么，这组数之间的规律是——。28an=n(n+1)2a2-a1=2a3-a2=3a4-a3=4an-an-1=n…an=1+2+3+…+n求数列的前n项和，通常要掌握以下解法：1、直接法2、公式法3、倒序相加法4、错位相减法5、分组求和法6、裂项相消法1.分组求和法：若数列的通项可转化为的形式，且数列，分别是等差或等比数列，则可求出前n项和{}nannnabc{}nb{}nc{}nanS练习：求：1、1+2、1+2+22、1+2+22+23…的前n项和.2、求：1、1+2、1+2+22、1+2+22+23…的前n项和.an=1+2+22+…+2n-1=1-21-2n=2n-1Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+…+(1+2+22+…+2n-1)=(2-1)+(22-1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=2n+1-n-2错位相减法解：记sn=a+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan则asn=a2+2a3+…+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1两式相减，得（1-a)sn=(a+a2+a3+…+an)-nan+1若a=1,则sn=1+2+…+n=2)1(nn若a≠1,则sn=anaaaann1)1()1(12注意：q=1时的sn。例1、求和a+2a2+3a3+…+nan*(,0)nNa练习.求数列}21{nn前n项和.解：nnnS21813412211①12121)1(161381241121nnnnnS②两式相减：1111(1)11111122()1224822212nnnnnnSnnnnnnnnS2212)2211(211数列求和错位相减法解：②232313122232221222(1)22nnnnnSnSnn错位相减法（）：①①②–22)1n(S22)n1(2n21)21(22n2222S1nn1n1nn1nn32n2nndn2.错位相减法：设数列是公差为d的等差数列（d不等于零），数列是公比为q的等比数列(q不等于1），数列满足：,则可求的前n项和nS{}na{}nb{}nc{}nannncba例2.求下列数列前n项的和Sn：，，，，，11431321211nn111)1(1nnnn解：)111()4131()3121()211(nnSn1111nnn11()1nn（裂项相消法）数列求和nnsa求已知,.121nn13221111,13.2nnnaaaaaana求已知：nnsa求已知,21nn11111-nnnn1211212112121nnnn2111121211nnnnnnn五、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：121211nnnknk121612122212nnnnknk223331314121nnnknk一般数列求和方法总结:1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比时q=1,q≠1的讨论.2、倒序相加法3、错位相减法4、裂项相消法5、分组转化法