数列求和专题

数列求和专题临沂一中高二数学组数列求和介绍求一个数列的前n项和的几种方法：1运用公式法3错位相减法4裂项相消法2通项分析法（分组求和法）5奇偶并项求和法1.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnnaannSnad111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq1123(1)2nnn22221123(1)(21)6nnnn23333(1)1232nnn例1：若实数a,b满足：求：分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b，再用等比数列前n项和公式求和22494620abab23210099aababab22(441)(961)0aabb解：由已知有1.3b1解得a=，222(31)0b即：（2a-1）23210099aababab1001()1aabab100111()2611610031(1).56例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：∵1，1/a,1/a2……1/an是首项为1，公比为1/a的等比数列，∴原式=原因：上述解法错误在于，当公比1/a=1即a=1时，前n项和公式不再成立。111111naa111nnnaaa例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：当a=1时，S当a1时，111111naSa1n；111nnnaaa1111nnnSaaan+1，a=1aS在求等比数列前n项和时，要特别注意公比q是否为1。当q不确定时要对q分q=1和q≠1两种情况讨论求解。对策：2.分组求和法：若数列的通项可转化为的形式，且数列可求出前n项和则1211221212()()()()()nnnnnnbcsaaabcbcbcbbbcccssnnnabc{}nc{}nbbscs{}na例3.求下列数列的前n项和（1）111112,4,6,,248162nn222221112(),(),,()nnxxxxxx解（1）：该数列的通项公式为1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462)()482nn111(22)421212nnn111(1)22nnn22211(2)()2nnnnnaxxxx1x当时，1nx当时，S242242111()()2nnxxxnxxx242242111(2)(2)(2)nnnSxxxxxx22222(1)(1)2(1)nnnxxnxx24nnnnnS22222211(1)(1)2111nnxxxxnxx222224(1)(1)(1)2(1)(1)nnnnnxSxxnxxx小活页P31例12112nnSaaan练习：（）求2112nnSaaan解：212naaann当a=1时S，12nnn21122nn0,n当a1S时，1112naannan当a=0时S，12nn例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)[分析]：观察数列的前几项：1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？裂项相消法11×3=（-213111）1111()35235例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)解：由通项an=1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11∴Sn=（-+-+……+-)21311151312n-112n+11=（1-）212n+112n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。4.拆项相消法（或裂项法）：若数列的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式即：或（）则可用如下方法求前n项和.111()nnnambb111()nnnambbns}{nannaaaas32112321111111()()()nnmmmbbbbbb}{nb例6、设是公差d不为零的等差数列，满足求：的前n项和}{na11nnnaab解:11nnnbaa11nnnnaadaa1111()nndaa123nnSbbbb)11(1)11(1)11(113221nnaadaadaad122311111111()nndaaaaaa11111()ndaa11.nnaa它的拆项方法你掌握了吗？nb常见的拆项公式有：111)1(1.1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21)12)(12(1.3nnnn])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1.4nnnnnnn)(11.5bababa1123nan解：2(1)nn112()1nn111112[(1)()()]2231nSnn12(1)1n21nn1123nann练习：求的前项和例4、求和Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1(x≠0,1)[分析]这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1①xSn=x+2x2+……+(n-1)xn-1+nxn②(1-x)Sn=1+x+x2+……+xn-1-nxnn项这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。相减例4、求和Sn=1+2x+3x2++nxn-1(x≠0,1)解：∵Sn=1+2x+3x2++nxn-1∴xSn=x+2x2++(n-1)xn-1+nxn∴①-②，得：(1-x)Sn=1+x+x2++xn-1-nxn∴Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)21-xn1-x=-nxn………………3.错位相减法：设数列是公差为d的等差数列（d不等于零），数列是公比为q的等比数列(q不等于1），数列满足：则的前n项和为：{}na{}nbnnncab{}nc{}nc123112233nnnnSccccabababab练习：求和Sn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n答案：Sn=3-2n+32n作业：1111(1).147[(32)]2482nnSn221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa23(3).230nnSxxxnxx2222123123357,,,.nknSaaak选作：设a，则数列的前项和114313212114nnSn祝愿同学们学业有成，前途似锦！