数列求和的3种方法――分组转化、裂项相消和错位相减

结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减高考研究课（三数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：1转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成.2不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．[典例]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，数列{bn}满足b1＝3，b2＝6，且{bn－an}为等差数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn.分组转化求和法[解](1)由题意知数列{an}是首项a1＝1，公比q＝2的等比数列，所以an＝2n－1；因为b1－a1＝2，b2－a2＝4，所以数列{bn－an}的公差d＝2，所以bn－an＝(b1－a1)＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，所以bn＝2n＋2n－1.(2)Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(1＋2＋4＋…＋2n－1)结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝an，n为奇数，bn，n为偶数，其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．[方法技巧]结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减[即时训练]已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q＞1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＋13an是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.解：(1)∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0，∴3(anq2＋an)－10anq＝0，即3q2－10q＋3＝0.∵公比q＞1，∴q＝3.又首项a1＝3，∴数列{an}的通项公式为an＝3n.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减解：∵bn＋13an是首项为1，公差为2的等差数列，∴bn＋13an＝1＋2(n－1)．即数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n－1，Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－12(3n－1)＋n2.已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q＞1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)．(2)设bn＋13an是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．一般地，若{an}为等差数列，则求数列1anan＋1的前n项和可尝试此方法，事实上，1anan＋1＝ddanan＋1＝an＋1－andanan＋1＝1d·1an－1an＋1.裂项相消求和法结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减[典例](2017·沈阳质检)已知数列an是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝an＋1SnSn＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)由题设知a1a4＝a2a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1(舍去)．设等比数列{an}的公比为q，由a4＝a1q3得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，n∈N*.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减[解]Sn＝(a11－qn)1－q＝2n－1，又bn＝an＋1SnSn＋1＝Sn＋1－SnSnSn＋1＝1Sn－1Sn＋1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1S1－1S2＋1S2－1S3＋…＋1Sn－1Sn＋1＝1S1－1Sn＋1＝1－12n＋1－1，n∈N*.(2017·沈阳质检)已知数列an是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝an＋1SnSn＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减1．用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．[方法技巧]结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减2．常见式的裂项[方法技巧]数列(n为正整数)裂项方法1nn＋k(k为非零常数)1nn＋k＝1k1n－1n＋k14n2－114n2－1＝1212n－1－12n＋11n＋n＋11n＋n＋1＝n＋1－nloga1＋1n(a0，a≠1)loga1＋1n＝loga(n＋1)－logan结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减[即时训练]1．(2017·福州质检)已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝1fn＋1＋fn，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2016＝()A.2015－1B.2016－1C.2017－1D.2017＋1解析：由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝12，则f(x)＝x12.∴an＝1fn＋1＋fn＝1n＋1＋n＝n＋1－n，S2016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2016＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2016－2015)＋(2017－2016)＝2017－1.答案：C结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减2．(2017·银川质检)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝n＋1n＋22a2n，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn564.解：(1)由S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减证明：由于an＝2n，则bn＝n＋1n＋22a2n＝n＋14n2n＋22＝1161n2－1n＋22.故Tn＝1161－132＋122－142＋132－152＋…＋1n－12－1n＋12＋1n2－1n＋22＝1161＋122－1n＋12－1n＋221161＋122＝564.(2017·银川质检)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(2)令bn＝n＋1n＋22a2n，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn564.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减错位相减求和法如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前n项和可用此法来求．即求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．[典例](2016·山东高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝an＋1n＋1bn＋2n，求数列{cn}的前n项和Tn.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减[解](1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，即11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，可解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减(2)由(1)知cn＝(6n＋6)n＋13n＋3n＝3(n＋1)·2n＋1，又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×4＋4(1－2n)1－2－(n＋1)×2n＋2＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减用错位相减法求和的3个注意事项(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．[方法技巧]结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减[即时训练]已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)∵{an－1}是等比数列且a1－1＝2，a2－1＝4，a2－1a1－1＝2，∴an－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋1.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减(2)bn＝nan＝n·2n＋n，故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)．令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，则2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，两式相减，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1，∴T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1.∵1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋n2＋n＋42.结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减1．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C.nn＋12D．nn－12解析：因为a2，a4，a8成等比数列，所以a24＝a2·a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)·(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋nn－12d＝n(n＋1)．故选A.答案：A结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减2．(2012·全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为()A．3690B．3660C．1845D．1830解析：不妨令a1＝1，根据题意，得a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以当n为奇数时，an＝1，当n为偶数时构成以a2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以前60项和为S60＝30＋2×30＋30×30－12×4＝1830.答案：D结束数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位