数列求和的八种重要方法与例题

数列求和几种重要的求和思想方法：1.倒序相加法.2.错位相减法.3.法：.4.裂项相消法：拆项倒序相加法:如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……典例.已知lg(xy)2nn-11n-1nS=lgx+lg(x·y)+...+lg(x·y)+lgy,(x0,y0)求S.nn-1nS=lgx+lg(x·y)+...+lgynn-1nS=lg+lg(·x)+...+lgyyxnnn2S=lg+lg+...+lg(xy)(xy)(xy)=2n(n+1)2.倒序相加法S=n(n+1)2.错位相减典例3:1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=？当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和适用错位相减通项错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既{anbn}型等差等比4、裂项相消例典4：111+++…+=?1×22×1n(n+1)3变项为1n(式1：通改n+2)变项为222n42：通改n式-11111=+（-)242n-12n+1111=(-)2nn+2分裂通项法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）同类性质的数列归于一组，目的是为便于运用常见数列的求和公式.拆项分组求和:典例5：数列{an}的通项an=2n+2n-1，求该数列的前n项和.分组求和法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组求和法.{an+bn+cn}等差等比错位相减或裂项相消典型6：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列并项求和交错数列，并项求和既{（-1）nbn}型练习10：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21总的方向：1.转化为等差或等比数列的求和2.转化为能消项的思考方式：求和看通项（怎样的类型）若无通项，则须先求出通项方法及题型：1.等差、等比数列用公式法2.倒序相加法5.拆项分组求和法4.裂项相消法3.错位相减法6.并项求和法深化数列中的数学思想方法：热点题型1：递归数列与极限.设数列{an}的首项a1=a≠，且,记，n＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求．4111214nnnanaan为偶数为奇数2114nnba123lim()nnbbbb（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+4141212181热点题型1：递归数列与极限.设数列{an}的首项a1=a≠，且,记，n＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求．4111214nnnanaan为偶数为奇数2114nnba123lim()nnbbbb因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn,(n∈N*)所以{bn}是首项为a－,公比为的等比数列4121412141214121热点题型1：递归数列与极限.设数列{an}的首项a1=a≠，且,记，n＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求．4111214nnnanaan为偶数为奇数2114nnba123lim()nnbbbb11121(1)12lim()lim2()1141122nnnnbbbbba热点题型2：递归数列与转化的思想方法.数列{an}满足a11且8an116an12an50(n1)。记(n1)。(1)求b1、b2、b3、b4的值；(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。211nnab1111,2;112ab故22718,718382ab故3344311320,4;,.31420342abab故故热点题型2：递归数列与转化的思想方法.数列{an}满足a11且8an116an12an50(n1)。记(n1)。(1)求b1、b2、b3、b4的值；(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。211nnab11111,816250,122nnnnnnnnbaaaaaba得代入递推关系11146340,2,3nnnnnnbbbbbb即1144422(),0,3333nnbbb42{},233nbq是首项为公比的等比数列41142,2(1).3333nnnnbbn即112nnnabb121()21(12)53123nnnSbbbnn1(251)3nn热点题型3：递归数列与数学归纳法.已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，(nN)（1）证明anan+12(nN)（2）求数列{an}的通项公式an11(4).2nnnaaa用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴；,23)4(21,10010aaaa2010aa2°假设n=k时有成立，21kkaa令)4(21)(xxxff(x)在[0，2]上单调递增1()()(2),kkfafaf11111(4)(4)2(42),222kkkkaaaa也即当n=k+1时成立，21kkaa所以对一切2,1kkaaNn有热点题型3：递归数列与数学归纳法.已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，(nN)（2）求数列{an}的通项公式an11(4).2nnnaaa2111(4)[(2)4],22nnnnaaaa212(2)(2)nnaa2212222212,1211221122nnnnnnbabbbb令则11222012nnb又b0=－121211,21222nnnnnbab即