4.2.2用函数模型解决实际问题解析

§2:实际问题的函数建模•导入：在前一阶段我们学习了利用函数的性质判定方程解的存在，今天我们将继续学习函数在日常生活实际问题中的应用——实际问题的函数建模•学习本节内容内容的主要目的是：(1)让大家进一步感受函数与现实世界的联系，强化大家用数学解决实际问题的意识。(2)让大家学会用函数去刻画实际问题，通过研究函数的性质解决实际问题。(3)让大家了解建立数学模型去解决实际问题的过程。（注意：参加的数学竞赛的同学是必掌握的内容）学习本节的过程：•第一步：用函数去刻画实际问题（即实际问题的函数刻画）•第二步：用函数模型解决实际问题(即用数学知识解决实际问题）•第三步：建立数学模型去解决实际问题（即数学建模）§2.1：实际问题的函数刻画•在这一节里要求大家学会怎样将实际问题转化为数学问题（请大家自学教材第一小节）§2.2：用函数模型解决实际问题•概述：函数模型是应用最广泛的数学模型之一，它在实际生活中的应用非常地广泛，不同的函数模型能刻画出现实生活中不同的变化规律.如果实际问题中的变量与变量之间的关系一旦被认定为是函数关系就可以将实际问题转化为数学问题，建立一个函数模型，通过研究函数的性质，从而更好地去把握问题，分析问题上，使实际问题得以解决.一.常见的函数模型有：•一次函数模型:•二次函数模型:•正比例函数模型:•反比例函数模型:•分段函数模型:•指数函数模型:•对数函数模型:•幂函数模型:)0(abaxy)0(2acbxaxy)0(kkxy)0(kxky)01,0()1(且akakyx)10,0(logaakbxkya且)0,0(xkbkxyn二．可用以上函数模型解决的实际问题•概述：可用以上函数模型(一次函数模型,二次函数模型,正比例函数模型,反比例函数模型,分段函数模型,指数函数模型,对数函数模型,幂函数模型)解决的实际问题说得简单点就是求解函数应用题，希望大家在做题过程中，做到以下3点•（1）认真审题：弄清题意，分清条件与结论，抓住关键词语和量，理顺数量关系；•（2）建立函数模型：在理解题意的基础上，通过列表、画图、引入变量等手段把实际问题转化为数学问题，把文字语言转化为数学符号语言，建立符合题意的函数模型；•（3）求解函数模型得出结论；1．可用一、二次函数模型解决的实际问题•例1:用汽船拖载重量都是为a且满载货物的小船若干只，在两港之间来回运送货物.若每次拖拉4只小船，则一天可来回16次；若每次拖拉7只小船，则一天可来回10次；且每天来回次数是每次拖拉小船只数的一次函数.如果每天每次所拖拉小船的只数不变，则每天应来回多少次，每次应拖拉几只小船，才能使运货总重量达到最大值？并求出每天最大的运货总重量.例2:西安市的一家报刊推主从报社买来《西安晚报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社，在一个月（按30天计算）内，有20天里每天可以卖出400份，在其余的10天里每天只能卖出250份，如果他每天从报社买进的份数是相同的.那么他应该每天从报社买进多少份，才能使每月获得的利润最大？并计算出他一个月最多可赚多少钱？例3:某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台与6台，现在要销售给A地10台，B地8台.又已知从甲地调运一台到A地、B地的运费分别为400元与800元；从乙地调运一台到A地、B地的运费分别为300元与500元.（1）设从乙地调运x台到A地，求总运费y元关于x的函数关系式；（2）若总运费不超过9000元，问一共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案及最低的运费.例4:某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.如果超过规定的质量，则需要购买行李票.又知行李费y元是行李质量x千克的一次函数，其图像如图所示;(1)根据图像数据，求y与x之间的函数关系;（2）问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克？例5:某商店如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法，增加利润.已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应该将售价定为多少元，才能使所赚利润最大，并求最大利润.例6:小王是某房产开发公司的一名工程师，该房地产公司要在如图所示的矩形拆迁地ABCD上规划出一块矩形地面PQRC建造住宅小区，但市文物局规定，在三角形AEF地区内有文物，不得使用三角形AEF内的部分，这可给公司经理犯难了，设计不好会给公司带来损失的，其实，在经理为难之际，小王早已经想好了对策！你知道小王是怎样设计才能使建造住宅小区的面积达到最大的吗？已测量出AB长为200米，BC长为160米，AE长为60米，AF长为40米。2．可用正反比例函数模型解决的实际问题例1:今年四、五月份期间，我国五岁以下儿童面对手足口病的威协，为了预防手足口病，某幼儿园对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正例关系，药物燃烧完后室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成反例关系.如图所示现测得药物8min后燃烧完毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请按题目中所提供的信息，解答下列问题，（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式和药物燃烧完后y与x的函数关系式.（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，方可让小朋友进入教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少min后，小朋友才能回到教室？2．可用分段函数模型解决的实际问题例1:某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入函数为H(a)=500a-，其中a是产品售出的数量，且0a500,a为自然数。若x为年产量，y表示利润，求y关于x的函数解析式；当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？221a•例2:某工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.•当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？•设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为y元，写出y关于X的函数解析式；•当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？例3.《中华人民国和国个所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过起征点的部分不必纳税，超过起征点的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率（％）不超过500元的5超过500元至2000元的部分10超过2000元至5000元的部分15超过5000元至20000元的部分20超过20000元至40000元的部分25超过40000元至60000元的部分30超过60000元至80000元的部分35超过80000元至100000元的部分40超过100000元的部分45第十届全国人大常务委员会第三十一次会议通过决定，个人所得税起征点自2008年3月1日起由1600元提高到2000元。(1)某公民甲全月工资，薪金所得额为3250元，请计算由于人个所得税超征点的调整，公民甲今年三月份的实际收入比二月份多了多少元？(2)某公民乙由于人个所得税超征点的调整，今年三月份的实际收入比二月份多了35元，计算公民乙三月份的工资、薪金所得额为多少元？(3)请写出月工资、薪金的个人所得税y关于工资、薪金收入x(0x10000)的函数表达式；4．可用指数函数模型解决的实际问题•例1:有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为立方米，每天流出湖泊的水量都是立方米.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能委好地混合，用表示某一时刻每立方米湖水中所含污染物质的克数，我们称为在时刻时的湖水污染质量分数，忆知目前污染源以每天克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式=,其中是湖水污染的初始质量分数.•当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；•求证：当时，湖泊的污染程度将越来越来严重.