《流体力学》课件 第二章流体静力学

第二章流体静力学流体静压强及其特征■流体平衡微分方程■重力作用下的液体压强分布规律■流体的相对平衡■液体作用在平面上的总压力解析法图解法■液体作用在曲面上的总压力二维曲面流体静压强及其特征“静”——绝对静止、相对静止APpA00lim1.静压强定义平衡状态2.静压强特征a.静压强方向沿作用面的内法线方向N/m2（Pa）反证法0F0)cos(0xnxxFxnPPF质量力xFyFzF表面力证明：取微小四面体O-ABCxPyPzPnPb.任一点静压强的大小与作用面的方位无关06121dxdydzX)xncos(ABCpdydzpnxdydz21031dxXppnx0dxnxppnzyxpppp)z,y,x(fp与方位无关与位置有关dzzpdyypdxxpdpp的全微分流体平衡微分方程左P右PdxdydzXFx1.流体平衡微分方程由泰勒展开，取前两项：质量力：0F0xFPP右左dydzdxxpp21dydzdxxpp21用dx、dy、dz除以上式，并化简得同理01xpX01ypY01zpZ——欧拉平衡微分方程（1755）01pf（1）（2）（3）02121dxdydzXdydzdxxppdydzdxxpp2.力的势函数(4)对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得dpdzzpdyypdxxpZdzYdyXdx）（yZzYxYyXzXxZ——力作功与路径无关的充分必要条件必存在势函数U，力是有势力将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加dzzUdyyUdxxUdU（4）式可写为：dpdUdzzUdyyUdxxUXxUYyUZzU——力与势函数的关系——将上式积分，可得流体静压强分布规律3.等压面：dp=0（4）式可写为：0ZdzYdyXdxldfldf0等压面性质：•等压面就是等势面•等压面与质量力垂直——广义平衡下的等压面方程gZgdzZdzdpcgzp积分写成水头形式：1.压强分布规律单位m——单位重量能量czgpzgp2211重力作用下的液体压强分布规律或写成cgzpgzp2211单位Pa物理意义：能量守恒p/ρg——压强水头z——位置水头压强分布规律的最常用公式：ghpzzgpp000——帕斯卡原理（压强的传递性）00gzpgzp适用范围：1.重力场、不可压缩的流体2.同种、连续、静止2.压强的表示方法a.绝对压强pab以绝对真空为零点压强pa——当地大气压强maaabppghpppaAhb.相对压强（计算压强、表压）pmc.真空度pv以当地大气压强为零点压强pghpppaabmabavppp注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成真空的程度，为正值！pv3.压强单位工程大气压（at）=0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O=1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）标准大气压（atm）=1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O换算：1kPa=103Pa1bar=105Pa4.测压计例求pA（A处是水，密度为ρ，测压计内是密度为ρ’的水银）解：作等压面ghgapA'gahpA'例求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为ρ’的水）解：ghpA'气柱高度不计一端与测点相连，一端与大气相连5.压差计例求Δp（若管内是水，密度为ρ，压差计内是密度为ρ’的水银）解：作等压面hgphgp'21hgppp'21Δh12ρρ’两端分别与测点相连例求Δp（管内是密度为ρ的空气，压差计内是密度为ρ’的水）解：hgpp'21hgppp'21Δh12ρ’6.微压计sin1glghpnhlsin1（放大倍数）ZdzYdyXdxdpaXapp,z,x001.等加速直线运动流体的平衡在自由面：相对压强：边界条件：等压面是倾斜平面xzppgdzadxdpaba00gzaxppaabgzaxpxgaz0pogaxz流体的相对平衡a重力（－g）惯性力（－a）由gZ,Y0（惯性力）例一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，B点处水深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水静压强解：gzaxpa=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入OmH.gp2151注意坐标的正负号aoBzx例一盛有液体的容器，沿与水平面成α角的斜坡以等加速度a向下运动，容器内的液体在图示的新的状态下达到平衡，液体质点间不存在相对运动，求液体的压强分布规律解：cosaXgaZsindzgadxadpzxp000sincosgzazaxpsincos注意：坐标的方向及原点的位置ZdzXdxdp2.匀速圆周运动流体的平衡zrogω2rZdzRdrdprR2gZ边界条件：000app,z,rrzpgdzrdrdp0020gzrp222在自由面：旋转抛物面grz2220p注意：坐标原点在旋转后自由面的最底点由（惯性力）相对平衡实验演示应用（1）：离心铸造机中心开孔ω例浇铸生铁车轮的砂型，已知h=180mm，D=600mm，铁水密度ρ=7000kg/m3，求M点的压强；为使铸件密实，使砂型以n=600r/min的速度旋转，则M点的压强是多少？解：PaghpM41024.1当砂型旋转gzrpMM2/22srn/202压强增大约100倍ghrM2/22Pa61025.1应用（2）：离心泵（边缘开口）zo边界条件：当r=R，p=pa=0rRzpgdzrdrdp020gzRrp222222在r=0处，压力最低真空抽吸作用ωgzRp222应用（3）：清除杂质（容器敞开）杂质m1，流体m杂质受力：ωmg（浮力）m1g（自重）m1ω2r（惯性离心力）mω2r（向心力）m1=m不可清除m1m斜上m1m斜下例1一半径为R的圆柱形容器中盛满水，然后用螺栓连接的盖板封闭，盖板中心开有一小孔，当容器以ω转动时，求作用于盖板上螺栓的拉力解：盖板任一点承受的压强为222rp任一微小圆环受力rdrppdAdP2整个盖板受力（即螺栓承受的拉力）gVgRgRrdrrdPPR44224242022注意：就是压力体的体积VgR442例2在D=30cm，高H=50cm的圆柱形容器中盛水，h=30cm，当容器绕中心轴等角速度转动时，求使水恰好上升到H时的转数解：O点的位置gRz.zhH'z22022由上题可知zRgR2424Hhωoz’zmzgRz2.02'422mgRzz4.022'22s/rad.972rpmn178602结论：未转动时的水位在转动时最高水位与最低水位的正中间Hhωoz’z解得：例3一圆筒D=0.6m，h=0.8m，盛满水，现以n=60rpm转动，求筒内溢出的水量解：2602n180222.gRz利用例2结论溢出的水量体积320256021m.RzVrad/smz1.解析法：y轴方向为任意形状的平面，面积为A，与水平面的夹角为θ。水平面为自由面，所受压强为p0.a.总压力流体作用在平面上的总压力解析法图解法pdAdPghdAdAgysinAydAgdPPsin——受压面A对x轴的面积一次矩（面积静矩）式中：c为面积的形心，pc为形心的压强。任意形状的总压力为形心处的压强与作用面积的乘积此等式的前提是自由液面压强p0等于大气压强pa.总压力的作用方向同于dP的方向。ApAghAygcccsinb.总压力作用点的位置（压力中心）静力学原理：平行力系对某轴的静力矩之和等于合力对同一轴的静力矩。DPydPydMMDCAyghghdAyDCAyydAyysinsinDCAyydAy2AyIAydAyyCxCD2AyydAcAdAyIx2——受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩）平行轴定理AyIICCx2AyAyIyCCCD2CCCCyAyIy于形心的以下。即总压力作用点总是位即从式中可知，,,hChDyCyD常见图形的yC和IC图形名称矩形三角形CyCI2h312hbh32336hb梯形圆半圆babah23bababah2234362d464dd32421152649d例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开2×2m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时，求作用于此盖板的水静压力及作用点解：设想打开封闭容器液面上升高度为mgPPa4807.907.9837.137060°p01m2mo4mymyC6.61160sin44333.13412mhbICCCCCDymAyIyy65.605.06.646.633.16.6mhC73.560sin114kNAghPC22560°o4myCD2.图解法依据ghpp0PApAghhAgbhghSbVCC2121作用点：V的形心处——2h/3p0p0或ghp作压强分布图用分割法求作用点：对AA’求矩矩形面积三角形面积梯形面积llyD2132点算起从AyD例：T为何值，才可将闸门打开？（1）用分割法求P大小，作用点为D；（2）对A点求矩TTlADPlGcoscos2θGlATPD或AhJAyJycccDsin（从形心C处算起）C流体作用在曲面上的总压力二维曲面1.总压力的大小和方向（1）水平方向的作用力zxghdAghdAdPdPcoscoszCzCAzxxApAghhdAgdPPz大小、作用点与作用在平面上的压力相同PxAxAz（2）垂直方向的作用力xzghdAghdAdPdPsinsingVhdAgdPPzAxzz作用点通过压力体体积的形心V——压力体体积ρgV——压力体重量AxAzPz（3）合作用力大小22yxPPP（4）合作用力方向与水平面夹角xzPPtgθPPxPz实压力体与虚压力体实压力体虚压力体2.压力体的作法压力体由以下各面围成：（a）曲面本身；（b）通过曲面周界的铅垂面；（c）自由液面或者延续面与深度无关——浮力p压力体水平压力