利用法向量求二面角

课题：利用法向量求二面角——小越中学章惠芳1.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。2.二面角的范围：,03.如何作二面角的平面角？lABO1复习回顾定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线所夹的角就是二面角21,nn21,nncos12cos,nncos12cos,nn注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？2探究准备(2014·衡水高二检测)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1C的大小为________．120°3课前热身[解析]连接DA1，DC1，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则DA1→＝(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，DC1→＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量，所以cos〈DA1→，DC1→〉＝DC1→·DA1→|DC1→||DA1→|＝12，∴〈DA1→，DC1→〉＝60°.又二面角A­BD1­C为钝角，∴二面角A­BD1­C的大小为120°.BSACDxyz90,,2,ABCBADSAABCDSAABCDABBCADSCDSAB如图，是直角梯形，求面面与面所成的二面角的余弦值。4探索方法解：建系如图2AB不妨设(0,0,0),(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),AD(,,)nxyzSCD设是面的法向量，12,0,102DCSD，，，.nDCnSD由且(2,1,1)n得SABAD面(1,0,0)ASABD是平面的法向量，||||,cosnADnADnAD6363所求二面角的余弦值为：二面角的平面角是锐角，1.建系2.找点坐标3.求法向量坐标4.求两法向量夹角5.定值90,,2,ABCBADSAABCDSAABBCAABDDMCSC变式1：如图，是直角面若为中点，求二面角S-MD-B的梯形，余弦值。BSACDM5实践操作90,,2,45ABCBADSAABCDSAABBCADSCSBDECABCECSD面在线段不含端点上是否存在点E，使得二面角余弦值的大小为若存在变式2：如图，是直角梯形，求出的值；若不存在，说，明理由。BSACD5实践操作6归纳总结１：利用法向量求二面角的一般步骤．２：法向量的夹角与求二面角大小的关系３：探索性问题的解法：假设存在，在这个前提下推理或计算，如果得出的结果符合问题的已知或正确的数学结论，则肯定其存在，否则不存在．,,,ACB901,2,3..BCEFBEEFFCBCACBADF2016浙江高考17题节选理如图在三棱台ABC-DEF中平面平面ABC，求二面角的余弦值7链接高考在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。7课后练习ACBPDO课堂总结1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.2.合理建立空间直角坐标系(1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同.(2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.思想方法1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.2.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.易错防范[感悟提高](1)本题较好地体现了转化思想：空间线面的位置关系――→转化直线的方向向量、平面的法向量之间垂直或共线――→转化空间向量运算――→转化空间线面位置关系；空间角――→转化向量的夹角――→转化空间向量的运算――→转化空间角．(2)向量法是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论．这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想．课前热身211111ABCDABCDADBA在正方体中，求锐二面角的余弦值。ODCAA1B1D1C1B1,,DBOAOAO解：作的中点连结11,,ADABADABAOBDAOBD在正方体中11AAOADBA为二面角的平面角11111224623cos36323AAAORtAAABAOAAAODB，不妨设，则在中，即锐二面角的余弦值为