中国新石器仰韶文化的数学

中国新石器仰韶文化的数学发布时间：2009-5-59:31:00作者：尚惠民中国数学，历史久远，渊源深厚，独具一格，是中华古代科技和传统文化的重要组成部分。从数学史的角度看，中国有文字记数后的数学表达形式，与无文字记数时期数学表达形式有很大的差别。由于人们对数学原始表达形式的不了解，加以文献记载的缺失，至今对中国新石器时期的数学认识基本还是空白。在殷商时期，六十甲子表已经出现，说明距今3000年前十进制、十二进制数学的应用和最小公倍数计算方法已存在。由商周数字卦发展演变而成《周易》六十四卦，其筮法和“万有一千五百二十”二篇策数，则是运用数学方法对天地宇宙规律的演绎模拟。《史记》保存的《历术甲子篇》历算方法，把太阳回归年的岁实365天、朔望月的朔实29日、六十甲子三个周期谐调，以闰月定四时而成岁，体现了古代先民的数学智慧。《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等“算经十书”及1984年出土的张家山汉简《算数书》，总结了先秦以降中国古代的数学成就。一直到宋元时期，中国的数学都居于世界领先地位。由商周上溯，中国数学的历史更为久远。据古代文献记载，伏羲立周天度，画八卦，由数起。黄帝“度四方”，“造甲子”，“作算数”，“起消息，正闰余”1。尧“历象日月星辰”，定四仲中星，“期三百有六旬有六日，以闰月定四时而成岁。”2舜，建极立法，“协时月正日，同律度量衡。”3禹治水，“兴人徙以傅土，行山表木，定高山大川”。“左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山”4。对于如此巨大的治水工程，如果没有数学的运用，取得成功是不可能的。《周髀算经》也明确指出禹在治水中运用和发展了勾股法。“故禹之所以治天下着，此（勾股）数之所生也。”赵爽注曰：“禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，释昏垫之厄，使东注於海而无浸溺，乃勾股之所由生也。”因此，《汉书·律历志》概括为：“伏羲画八卦,由数起，至黄帝、尧、舜而大备。”《周髀算经》作为盖天说的天算书，其中在充满数理哲学的论述中，记载了源自上古的勾股数学、及其多种使用方法和基本数据。而且这些方法大多用数理图来表达，如“勾股方圆图”（三幅）、测日高和日晷之径的“至日图”、“望远起高之术”的“日高图”、“求方圆于方图”（两幅）、“七衡图”。书中有“一寸千里”的表影率、“八十寸而德径一寸”日体率、“径一周三”的古圆周率（3）、“勾三股四弦五”等原始数理。《周髀算经》的作者正是以这些方法和数理，用周代的的实测数据进行演算和推理的。由于后世对该书的成书年代（下限应在春秋战国）有争议，对其中有些数据存有置疑，以及文献记载的粗疏和原始资料的缺失匮乏，人们始终未能了解这些数学方法产生的时代。如把勾股法命名为“商高定理”，显然是把这一重要数学定理的产生推迟到了周代。数学是科学的基础。了解中国古代数学产生的时代，对于我们认识古代科技和传统文化有着积极的意义。出于这一想法，结合考古资料，作者对新石器时期的数学作一点探讨。一、中国古代数学伴随着天文历法产生发展数学的产生和发展，离不开物质资料生产和文化生活的实践。世界上早期的数学都是源于生产、生活的实际需要而产生的，是一种应用数学。中国新石器时期的数学则更多的与天文历法联系在一起。中国是世界上最早进入农业文明的国家。众多的考古发现表明，早在八九千前就已经形成了南稻北粟水旱经济区。农牧业产生与季节气候的密切关系，使先民们通过观察日月星辰运行和鸟兽活动等自然现象认识季节变化的规律，并以此安排农牧业产生和农事活动，做到“不违农时”。这在生产力水平低下的农业社会初期尤其重要。从古代文献中可以看出先民对天时极端重视。《荀子·王制》曰：“春耕、夏耘、秋收、冬藏，四时不失”，“五谷不绝”。《吕氏春秋》在《任地》、《审时》篇说：“时至而作，竭时而止”。“夫稼，为之者人也；生之者地也；养之者天也。是故得时之稼兴，失时之稼约。”《韩非子》则说：“非天时，虽十尧不能冬生一穗。”所谓“天时”，就是春夏秋冬气候的变化。由于先民对天时的重视，天文历法成为中国最早产生和发展起来，并取代辉煌成就的古代科学。中国数学也随其需要而发展。也正因为如此，作为天算之书的《周髀算经》一书，才得以保留了中国上古时期的数学精华。他说：“复原工作的成功使我们可以大胆提出，西水坡45号墓除去方形大地的设计之外，上部图形就是原始的盖图！尤其令人惊讶的是，依照墓穴的实际尺寸，这张盖图所表示的分至日的昼夜关系非常合理，特别是春秋分日道，其昼夜关系的准确程度简直不差毫厘。显然，这比根据《周髀算经》所复原的盖图更符合实际天象。”“将三环石坛所表现的三衡直径的关系与《周髀算经》七衡图之内、中、外三衡直径的关系进行比较，可以发现，二者内衡与外衡的关系完全一致。”“牛河梁三环石坛的考定，证明中国古老的盖天理论在公元前第三千纪已经发展到一定的水平。作为早期的盖天图解，牛河梁的盖图完全具有实用性。它不见描述了一整套宇宙理论，同时准确地分至日的昼夜关系。这种完整的理论体系的确立，必然经历了一段漫长的形成过程，因此，盖天理论的发端必之原始盖图的出现无疑有着更悠久的历史。而牛河梁盖图所表现的五千年前先人们对宇宙的认识水平，已足以令人惊叹！”“毋庸置疑，如果说盖天理论与勾股法的结合就是‘周髀’的话，那么我们岂不是通过牛河梁三衡图找到了最早的‘周髀’！”9。冯时的研究成果，使我们可以得出这样的结论：即中国在距今五六千年前勾股数学的方法已经经存，并在天文观测和墓穴、祭坛的设计和建造中应用。七衡盖天图，是由三衡、五衡盖图发展而来。人们已经从河姆渡文化遗址（距今7000－6500年）陶象模型上，看到了三衡图；残损的一件工艺品上有太阳鸟五衡图10；“双凤朝阳纹”的牙雕上同样可以看到五衡图11形象。后来，在春秋战国的铜镜上，还有二、三衡图的存在。至于七衡图，我们从1976年出土于殷商妇好墓的铜镜上看到3100前的带有光芒纹的七衡图12。1979年考古人员在新疆罗布泊地区孔雀河古河道北岸发现了数十座3800年前的“太阳墓”。在木桩围成墓穴外围，有用木桩围成的7个同心圆，木桩同时又呈太阳光芒放射状13。“太阳墓”的七衡盖图墓葬形式与西水坡45号墓的三衡盖图形制，有着异曲同工之妙，都体现了盖图观念和所处时代的天文历法成就。《周髀算经》中除了日道，还有光道的计算：太阳“冬至所北照，过北衡十六万七千里，为径八十一万里。”“故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里。”说明这些带有光芒的七衡图更符合古意。七衡图是与二十四节气相关的日道。其从产生到被人们接受而应用到生活实际中，必然是经历了相当长的一段时间，这在上古时期更是如此。因此，七衡盖图产生的时间应该追溯到更为久远的年代。衡图的产生，是建立在对日道进行观测和数学计算基础的。因此，衡图是古代先民数学应用的成果，这说明新石器时期的数学在应用中延续发展着。五、仰韶文化时期的数学1、仰韶文化锥刺三角形的数学意义数学是关于客观空间形式和数量关系的科学14。有图无数是很难说明数量关系的。二十世纪五十年代末期，在仰韶文化西安半坡遗址和西华县元君庙遗址，出土的陶片或陶器上，发现了36、45、55数点组成的锥孔三角形。这些类似幂形排列的数点三角形，对于我们解开新石器时期数学之谜，有着决定的意义。元君庙出土的陶钵上有锥刺的三角形图案。图案呈“△▽△▽”相间，刺在上下两道平行的规线之间，连续环上腹部一周。留存的十个三角形中，有九个是由55个锥刺孔组成，一个是由45个锥孔组成。考古报告说，55数的三角形从一至十分十层。45数三角形从一至九有九层15。在西安半坡遗址出土的陶器残片上也发现了锥刺三角形图案16。由于陶片残缺，很难看出图案的全貌，但其中由一至八数组成的八层36数点三角形，基本完整，而且它与图案的其他部分有明显的间隔，显示其有相对的独立性。考古发现的这三种由36、45、55个数点组成的三角形图案，因为它们是用具体的数组成的三角形，这对于我们认识当时的数学和科技是一件很有意义的事情。宋、清代的一些学者从河图、洛书的55、45数，演绎数理，希图用河图洛书数去涵盖55、45的所有数理。因此出现了河图为“加减之源”，洛书为“乘除之源”的说法，反而增加了河图洛书的神秘感。但有些推演，对我们仍有借鉴作用。清代李光地的“点数应河图十位”中，用55数点组成三角，并形分成内外三重的做法，对我们是有启发的。他说：“周围三角，分三重，中一重九，次内一重二九一十八，外一重三九二十七，除中心，凡数五十四17。”换句话说，五十四数，加中心的一数，为五十五数。这种三重的分法，可以帮助我们分析仰韶文化遗址的36、45、55数点组成的三角形。36数点组成的一至八数八层三角形，分为三重数点三角形，其数点为：内重3，次重12，外重21。三重数点之和为36，即3＋12＋21＝36。同理，45数点组成的一至九数九层三角形，可分为：内重6，次重15，外重24。三重数点之和为45，即6＋15＋24＝45。55数点组成的一至十数的十层三角形，三重的数点分别为：内重9，次重18，外重27。即9＋18＋27＝54。因中心正居其正中一点，为1数，合为55数。我们把以上三种三角形分为内外三重，重与重之间的圆周数差，都为9数，谓之“九重差”。刘徽在《九章算术》注序中说：“徽寻九数有重差之名，……凡望极高测绝深，而兼知其远者，必用重差。勾股则必以重差为率，故曰重差也。”《周髀算经》书中有勾三股四弦五、勾六股八弦十的勾股弦法。但何为重差？为什么“九数有重差之名”？古代的文献并没有明确记载。从刘徽“寻”的语气中，看出“九数重差”已久不为人知。从刘徽的说法至少提示我们两点：其一，数点三角形可以分成重差为九的三重。其二，九重差三角形与勾股有关。“率”，即圆周率。三三为九，圆周率为三，九为三的圆周数。故数点三角形与圆周有着一定的联系。沿着这一思路，我们去寻求仰韶文化时期这些36、45、55数点三角形的数学、数理意义。按照“圆径一而周三”的计算方法，我们发现，36数点组成的三角形，其内外三重三角形的周长数，也是直径为一、四、七时三个同心圆的圆周数。即：1×3＝3，4×3＝12，7×3×21。3＋12＋21＝36。45数点组成的三角形的三重三角数，是直径二、五、八，三个同心圆的圆周数：2×3＝6，5×3＝15，8×3＝24。6＋15＋24＝45。而由55数点组成的三角形三重三角数，则是直径为三、六、九，三个同心圆的圆周数：3×3＝9，6×3＝18，9×3＝27。9＋18＋27＝54。由于直径三、六、九同心圆的圆心正在三角形第七层中间一个数点上，故三圆周数外加中心1数，构成三角形的55数。这就是说，36、45、55数点三角形，分别是直径为一、四、七，二、五、八，三、六、九时，三重同心圆的圆周数之和组成的图形。圆属天，方属地，天圆地方。三重圆或曰三圜，是古代先民表示天圆或圜道重要图象。既然36、45、55都是三重圆周之和数，它们在象数文化中主要用于表示与天文历法有关的事物。36数，古人从又称为“天罡”数；易经八卦、六十四卦中阳爻（—）的策数，皆为36数。因此与天文历法有关的河图、洛书也用55、45数组成；天地数之和为55数。汉马王堆帛书《易传》：“大衍之数五十有五”。由此也可以看出，仰韶文化遗址的三种数点三角形的重要意义。既然仰韶时期的36、45、55数点组成的三角形图案是三环圆周数的表达形式。就说明当时的先民是用三角形来表达圆周的。三角形成为“圆径一而周三”的数理的形象表达。按古代一物多象、多物一象的象数思维的特征，三角图形（▲、△）可以包含多种象数意义。三角形之一边为圆径；三角形之“三”象圆周率（π）之三；三边之和为圆周数。故三角形又象征圆周、圆、圜、天圆、圜道。由此也使我们知道古代器物上的各种形式的连山纹，是圆周、圜道、天圆的象征。三角形又是山形的象，甲骨文的山字就是三个“△”连在一起。春秋战国的山字铜镜上的“山”，应是源于三角形之象，表示天圆、圆周、圜道。三角图形与圆形的区别，在于它包含了圆周的数理意义。仰韶36、45、55数点三角形中三圜圆周含义存在，是勾股方