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第九章扭转引言扭转：直杆在若干个横截面上受到转向不同的外力偶作用而产生的变形。MM轴：主要产生扭转变形的杆件称为轴。外力特点：在垂直于杆轴的平面上作用有力偶。变形特点：杆上各个横截面均绕杆的轴线发生相对转动。相对扭转角：任意两个横截面之间相对转过的角度。设轴的转速为n（转/分钟），所传输的功率为P（千瓦：KW），相当于作用在轴上的力偶矩为m（N.m），则它们之间的关系为：动力传递与扭矩一、外力偶矩的计算min/.9549rKWmNnPM二、扭矩与扭矩图在求得作用在轴上的外力偶矩之后，即可用截面法来研究圆轴扭转时横截面上的内力了。已知m，求n-n截面上的内力偶由左半段的平衡条件：∑Mx=0T-m=0T=m扭矩：内力偶的矩称为扭矩。符号规定：用右手四指代表力偶旋向，姆指背离截面为正，否则为负。扭矩图：表示各截面上的扭矩随截面位置变化的图形。例1：已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。ABCDm2m3m1m4解:⑴计算外力偶矩m)15.9(kN3005009.5555911nP.mm)(kN7843001509.55559232.nP.mmm)(kN3763002009.5555944.nP.m(2)求图示截面上的扭矩ABCDm2m3m1m4112233mkN78.40,02121mTmTmxmkN569784784(,0322322.)..mmTmmTmkN37.6,04343mTmT(3)绘制扭矩图mkN569max.TBC段为危险截面。ABCDm2m3m1m4112233xT4.78kN.m–9.56kN.m6.37kN.m二、扭矩图的快速画法口决：轴的左端零起点，无力偶段平行线,矩矢向右往下减,矩矢向左往上添，减多少？添多少？力偶矩值作参考。对于圆轴扭转问题，作扭矩图时，只需求出各轮上的外力偶矩，再根据口诀即可准确快速地画出扭矩图。总结切应力互等定理与剪切胡克定律一、薄壁圆管的扭转应力取两条纵向线相距dy两条横向线相距dx观察变形：1、各纵向平行线都倾斜了同一微小角度，所有的矩形都变成了平行四边形。2、圆周线的大小形状不变，两圆周线间发生相对转动，圆周线间的距离不变。取abcd单元体，得到下面结论：1、由于圆周线的大小不变，所以上下面无正应力；圆周线的形状不变，所以沿半径的方向无切应力；圆周线间距离不变，所以左右两面上无正应力；2、各小矩形变形相同，所以同一圆周上各点应力相等。又因为是薄壁所以假设沿厚度应力也均匀分布。各点应力组成的力偶之和为截面上的扭矩T，´´若设圆筒的平均半径为R，壁厚为δ则有：T=τRA=τR2πRδτ=T/2πR2δ纵向线转过的角度为切应变，用γ表示。设轴长为L，轴两端面转过的相对角度为Φ，则：γL=ΦRγ=ΦR/L二、纯剪切与切应力互等定理单元体是平衡的，固在上下两个面上必然有剪应力作用，设为τ´，由单元体的平衡方程得：∑Mz=τdytdx=τ’´tdxdyτ=τ’´切应力互等定理：在单元体的两个相互垂直的截面上，垂直于截面交线的切应力大小相等，方向均指向或背离交线。纯剪切：单元体只在四个侧面上，存在剪应力而无正应力作用的应力状态，称为纯剪切应力状态。acddxbdy´´´´tz三、剪切胡克定律实验表明：当剪应力不超过材料的比例极限时，剪应力与剪应变成正比。τ=Gγ-----剪切胡克定律比例系数G：称为材料的切变模量。它表示了材料抵抗剪切变形的能力。对于各向同性的材料，弹性模量E、泊松比μ、切变模量G存在以下关系：G=E/2（1+μ）形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变.圆轴的变形与薄壁圆筒相似。平面假设：圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面一样，仅绕轴线作相对转动。下面看剪应变在圆轴内的变化规律。1、几何关系各圆周线的形状不变，仅绕轴线作相对旋转；而当变圆轴扭转横截面上的应力一、扭转切应力的一般公式圆轴表面的纵向直线变为转动了γ角度的斜线，距轴线ρ处的任一纵向直线变为转动了γρ角度的斜线，设相距dx的两端横截面间的相对转角即扭转角为dφ，因为在同一横截面上dφ/dx是一个常数不随ρ而变化，所以γρ与ρ成正比。dφ/dx：沿轴线方向单位长度扭转角。ddρdxγρdxdργρ2、物理关系由薄壁圆筒的分析可知：横截面上只有剪应力，而且τ⊥ρ。根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时dxdGγGτρρ可见：①τρ与ρ成正比，即：剪应力沿半径线性变化。②ρ=R时剪应力最大。OT纵向切应力：113、静力学关系因为横截面上剪应力对轴之矩的和等于扭矩。dAτρTρAdAoTτρdAρdAdxdρGρTAdAρdxdGTA2,2dAρIAp令dAρIAp2称叫极惯性矩,则dxdIGTpdxdIGTpdxdGρργGτ由dxdGρτρGTGIpTIp剪应力公式。由公式知剪应力呈线性分布，如下图示。pIT得：实心圆截面空心圆截面最大切应力为maxmaxTIppWT其中，RIWpp二、最大扭转切应力叫作抗扭截面模量（系数）maxppIWIdp2d316极惯性矩与抗扭截面系数一、实心圆截面dAρIAp22022d/dρρπρodρ微面积dA=2πρdρ2032d/dρρπ2244dd432二、空心圆截面odρdDdAρIAp22222ddD//()Dd4432D44132()WItpmaxIDp2D34161()圆轴扭转破坏与强度条件一、扭转极限应力[τ]=τu/n二、强度条件τmax=（TR/IP）max=（T/WP）max≤[τ]例1:已知某传动轴转速n=400r/min，主动轮输入功率PA=600kW，三个从动轮输出功率分别为PB=300kW，PC=200kW，PD=100kW；如图a所示，若该传动轴直径d=90mm，许可切应力[τ]=60MPa，试校核该轴强度。解：作用在各轮上的外力偶矩m为mkN33.1440060095509550nPmAAmkN16.740030095509550nPmBBmkN78.440020095509550nPmCCmkN39.240010095509550nPmDD画出该轴的扭矩图AB段将发生最大切应力，MPa10090161033.1436maxmaxpWT因此，该轴不满足强度条件。若将此轴的A轮和B轮位置对调，则扭矩图将改变，这时该轴强度足够MPa60MPa5090161017.736pmaxmaxWT例2一圆轴受外力偶矩m=1.5kN力偶的作用，材料的许可切应力[τ]=60MPa。1.试设计实心圆截面的直径D1。2.若该轴改为α=d/D=0.8的环形截面圆轴，试计算该轴的内、外径。3.讨论对空心轴与实心轴重量比的影响。解：1.扭矩T=m=1.5kNm，设计实心圆截面直径为2.若改为=0.8的空心圆轴，设计外径D为mm6060)8.01(105.116])[1(1634634TD内径d=0.8D=48mm。3.5060105.116][163631TD3.由同种材料制成的同长度轴，其重量比即等于横截面积比。空心轴的截面积为)1(422DA其中实心圆轴的面积为4211DA其中此时两轴具有同样的承载能力，即具有同样的强度，面积比3242111AA当=0.8时，=0.512，相当于重量减至原来的1/2。主要原因是空心圆轴的材料布置在远离轴心的高应力区，充分发挥了材料的承载能力。34])[1(16TD31][16TD圆轴扭转变形与刚度条件一、圆轴扭转变形扭转角Φ：两横截面间的相对扭转角。设相距为dx的两横截面间相对扭转角为dφ，则dddxTGIpddTGIxpTGIxpld对于同一种材料制成的等截面直轴来说，若长为L的某一段上扭矩T为常量，则：pIGTlGIP：扭转刚度它反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。与材料的性质、截面的形状和尺寸有关。若轴各段的T或Ip不同，则轴两端的相对扭转角为nipiiiIGlT1二、圆轴扭转刚度条件若用表示变化律，则有(3-8)式,有若用θ表示单位长度的扭转角，则pGITxddθ=圆轴扭转时的刚度条件:θ=pGITxdd≤[θ]弧度/米或TπGIP180°≤[θ]度/米其中：T：N.m；G：N/mm2；IP：m4利用刚度条件可以解三类问题：1、刚度校核：判断（T/GIP）MAX≤[θ]是否成立。2、设计截面：GIP≥TMAX/[θ]3、求许用截荷：TMAX≤GIP[θ]例1：如图所示，某传动轴输入功率PKA＝7.5kW，输出功率PKB＝5kW，PKC＝2.5kW，若该轴转速n＝300r/min，材料为45钢，G＝80GPa，[τ]＝40MPa，[θ]＝1.5×103/mm。1．试设计轴的直径2．若lBA＝1.5m，lAC＝1m，试计算BC。解：首先计算三处的扭转力偶矩mNnPMKAA8.2383005.795509550mNnPMKBB2.159300595509550mNnPMKCC6.793005.295509550最大扭矩(T)max发生在BA段，且(T)max＝159.2Nm。按强度条件按刚度条件mm7.29105.11080180102.15932][180)(32][18032)(180)(dd4323342max242maxmaxGTDDGTGITxP若要求强度条件与刚度条件均得到满足，可取D＝30mm，mm3.2740102.15916][)(16][)(16)(333max31maxmaxmaxTDDTWTp)rad(0364.00012.00376.032301080101106.7932301080105.1102.15943334333PACACPBABAACBABCGIlTGIlT)()(例2：图示阶梯形圆轴的AC段和CB段的直径分别为d1=40mm、d2=70mm，轴上装有三个皮带轮。已知由轮B输入的功率为PB=30kW，轮A输出的功率为PA=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用切应力[]=60MPa，切变模量G=80GPa，许用单位长度扭转角[]=2°/m。试校核该轴的强度和刚度。0.5mMMMe1e2e3ACBD0.3m1m解（1）外力偶矩的计算mNMmNMnPMee.5.1432200309550.75.620200139550955031(2)画扭矩图620.75N.m1432.5N.m(3)强度校核AC段和DB段均危险][4.49401075.6201616333111max,MPadTWTpAC][3.2170105.14321616333212max,MPadTWTpDB满足强度要求（4）刚度校核mdGTGITxPAC/77.104.010801803275.62018032180dd42941111mdGTGITxPBD/44.007.01080180325.143218032180dd42942222满足刚度要求