函数与方程思想的应用

高考对数学思想的考查是与数学知识的考查结合进行的.是通过对数学知识的考查来反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.对数学思想方法的考查是考查考生能力的必由之路.体现的思想知识型解法方法型解法在“方法型解法”中，建立了已知量与未知量之间的等量关系.体现了数学中一种重要的思想——“方程的思想”.3()sin12faaa3sin1aa33()sin1sin10faaaaa()()2fafa33()sin1,()sin1faaafaax()0fa()2fa两式相加，得从两道简单的例子谈数学思想与方法(一)3()sin1()fxxxxR()2fa函数,若()fa则的值为（）Ａ．3Ｂ．0Ｃ．-1Ｄ．-2(08福建文理)ABC△ABC，，abc，，26120cbB，，a(2008陕西文)的内角的对边分别为，若，则．从两道简单的例子谈数学思想与方法(二)巧合30(150,)CC舍3212,2618030,ABCsinsincBCb2.ac2240aa216222,2aa大道sinsinbcBC由正弦定理得2222cosabcacB由余弦定理得2a22a解得或(舍).建立未知数的方程a【例1】(体积法)在单位正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A到截面A1BD的距离.A1B1C1D1ABCDo1121133(2)3346ABDAABDSdddV111111113326AABDABDAABDVSAAV【例1】(体积法)在单位正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A到截面A1BD的距离.另一方面，【解】设A到截面A1BD距离为d，一方面，在三棱体A—A1BD中，3166d33dA1B1C1D1ABCD我们指出，“体积法”的关键在于建立等式（方程），它的实质就是“方程的思想”.推广到一般情况，这种思想可表述为：对于一个适当的量，从两个方面去考虑它，然后综合起来，就得到一个等量关系式.()fx若定义在R上的函数的图象满足xaxbab既关于直线对称，又关于直线对称，且，()fx2ba则是周期函数，且是它的一个周期.【例2】函数的对称与周期的关系之一：()()(1)()()(2)faxfaxfbxfbx()(2)(3)fxfax()(2)(4)fxfbx(2)(2)(5)faxfbx()(22)fxfbax解：由条件，得由(3)、(4)得2Tba这表明，是周期函数，且.()fx于(1)式中用替换，得xax于(2)式中用替换，得xbx于(5)式中用替换，得x2ax算两次原理函数的对称与周期的关系(续前例)：()fx若定义在R上的函数的图象满足(,0)a(,0)bab(2)既关于点对称，又关于点对称，且，()fx2ba则是周期函数，且是它的一个周期.xa(,0)bab(3)既关于直线对称，又关于点对称，且，()fx4ba则是周期函数，且是它的一个周期.思路点拨利用题中的两个对称条件，运用算两次原理，得到一个关系式，进而证明问题.背景函数yxop2p23p2p1-1sinyx【例3】（2007全国Ⅰ•理•16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为.2222114ACACAAh222222122()2(4)842hhACPCPBBC【解】在等腰直角⊿A1BC中，易知A1C为斜边，从而PA1=PC且P为BB1的中点.设BB1=h一方面，在Rt⊿AA1C中，22482hh从而28h123AC解之，，∴.另一方面，在等腰Rt⊿A1PC中，ABCA1B1C1P算两次原理《考试大纲》的说明中指出：所谓方程的思想，就是突出研究(建立)已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程(等式)或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础.方程的思想应用的关键点(难点)是建立等式，算两次原理就是方程思想的一个典型运用.教材中一些定理、公式的证明都利用了方程的思想，下面举例说明.cos()coscossinsin【例4】关于两角和余弦公式的证明：解：如图在直角坐标中作单位圆和角，为了得到一个等量关系式，教材上用两种方法得到+.一方面，以的终边OP2按逆时针另一方面，以的始边OP1按顺时针方向旋转，得OP4，于是∠P2OP4＝+.旋转,得OP3,于是∠P1OP3＝+；综合起来，就得到∠P1OP3＝∠P2OP4.于是有1324PPPPcos()coscossinsin再将P1、P2、P3、P4的坐标分别用和的三角函数的表示，代入两点间距离公式，整理即得ABC【例5】正弦定理和余弦定理的向量证法.(1)ABACCB对于⊿ABC，考虑向量等式对于(1)式，我们有两种思路(都是研究方程问题的常用手段)思路一：两边平方ABACCB222ABACCBACCB222,ACCBCp2bcoscbaaC2222cos,ABACCBACCBACCB222展开，得即从而注意到这就是余弦定理.=+,=+BCBAACACABBC再考虑等式，就得到余弦定理的另两个公式.背景知识我们知道，利用不等式可以求函数的最值.1(22)2yxxx22123xxx312423273(1)(01)yxxx2例如，求的最大值就可以利用(,,)3abcabcabcR3不等式来求解.2223xxxx427当且仅当时，函数有最大值.(1)(1)yxxx1(1)(22)2xxx12211232xxx3提出问题(1)(01)yxxx2函数的最大值能用上述方法求解吗？我们尝试一下.122xxx×?小试牛刀两边平方12(1)(1)2xxx22221yxx222239(1)(1)xxx222211123xxx3222(1)(01)yxxx2求函数的最大值1242327332113xxxx222当且仅当时，函数的最大值为.小试牛刀导数方法(1)(01)yxxx2求函数的最大值3yxx213yx0,y0,y3323133920y33,33xx令，解得(舍)30,3在上，3,13在上，原函数为增函数；原函数为减函数.33x从而，当时，函数的最大值为【例5】正弦定理和余弦定理的向量证法.(1)ABACCB对于⊿ABC，考虑向量等式对于(1)式，我们有两种思路(都是研究方程问题的常用手段)思路一：两边平方ABACCB22思想二：两边乘以一个恰当的向量(如乘以的单位法向量)CBnABACCBnnABACCBnnncoscosABABACACnn,nn,ABn,ACn,90B90Ccos(90)cos(90)cBbCsinsincBbCsinsinbcBCcos()coscossinsincos()coscossinsin2222222coscoscoscos2coscos555555xpppppp312x2coscos55pp【例6】求的值.2coscos55xpp解：设，则12x解之得12141cos1cos2525pp1cos2cos223coscos55pp1211coscos2525pp321coscos255pp2coscos55pp建立方程两边平方???32()fxaxbxcxx05'()yfx(1,0)(2,0)x0,,abc【例7】(2006年北京•理•16)已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.解：（Ⅰ）由导函数图象可知，函数()fx在（－∞，1），（2，＋∞）上递增，在（1，2）上递减..10x)(xf所以在x=1处取得极大值，所以(1)5f即12yxo12(0)fxmxxm232(1)fxmxmxm232(2)fxaxbxc（Ⅱ）由导函数图象可设32()fxaxbxcx另一方面，由得即3,,232mabmcm　　325,32mmm6m，2,9,12abc15f5abc又由知3232ambmcm对比(1)、(2)，得，算两次原理32()fxaxbxcxx05'()yfx(1,0)(2,0)x0,,abc【例7】(2006年北京•理•16)已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.12yxo22221(0)xyabab12FFA，，212AFFFO1AF113OF2ab【例8】（2007年天津•理•22题）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点。，原点到直线的距离为（Ⅰ）证明；A2AF分析：我们用两种方法来求点的纵坐标(即的长)，2ab就可得到一个等量关系式，进而证得.(,)Acy2222222221,1yycababab证明：一方面，设，代入椭圆方程，得2bya解得①yxoAF1F2H2AF1OHAF另一方面，我们来求的长.如图，作,1AF我们再从两个角度来考虑.112FHCFFA△∽△其一，易知1123AFOFAFOH，故122AFaAF其二，由椭圆定义知2232AFaAF所以有22aAF解得②22baa由①，②得，2ab所以.2bya解得①123AFAF即yxoAF1F2HOABCDABCD4ABCp,OAABCD底面2OAMOA【例9】（2008安徽）如图，在四棱锥中，底面是四边长为1的菱形，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（文）（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。（文理）思路1思路2思路3我们作第（Ⅱ）问.思路的选择取决于对知识掌握程度.体积法,方程的思想;转化法,化归与转化的思想;向量法,数形结合的思想;21sin13524BCDSBCCD21(1)36OBCDBCDVOAS2222APPDAD331422OPOAAP2232124OCDSOPCD21(2)34BOCDOCDVhSh22,64h2.3h一方面，思路1另一方面，作AP⊥CD，连结OP，在Rt⊿APD中，45,D在Rt⊿OAP中，设B到平面OCD的距离为h,对比(1)、(2)，得算两次原理,AQOAPAQCD平面∵∴,AQOPAQOCD平面∵∴22222OPODDPOAADDP∵22APDP22223322OAAPAQOP∴AB平面∵∴‖OCD,点A和点B到平面OCD的距离相等，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离23所以点B到平面OCD的距离为,,,APCDOACDCDOAP平面∵∴AQOP过点A作1324122作,APCDP于连接OP,思路2转化的思想思路3222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),222ABPDO,,xyz分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系A