函数习题精选精讲

习题精选精讲1八个《函数》问题函数是高中数学中重要内容，学习函数时如果概念不清，性质理解不深刻，就会造成许多后遗症，影响后续知识的掌握。下面提出有关的若干疑难问题进行剖析。一、表达式相同的两个函数是否相同?很多学生容易把具有相同表达式的两个函数看作同一个函数。其实，由函数的表达式相，只能知道它们的对应法则相同，但还有定义域是否相同的问题，例如，f(x)=3x+1与g(x)=3x+1(x∈Z),尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数．二、定义域和值域分别相同的两个函数是否是同一函数？有些同学认为，两个函数定义域和值域分别相同，那么这两个函数必相等．其实不然，例如f(x)=x,x∈{0,1},g(x)=(x-1)2,x∈{0,1},这两个函数定义域和值域分别相同，但由于f(0)≠g(0),f(1)≠g(1),即当自变量x取相同值x0时，f(x0)≠g(x0),故f(x)≠g(x)．事实上，两个函数相等的意义也可叙述成：如果两个函数f(x)和g(x)的定义域为D，且对于任一x0∈D,都有f(x0)=g(x0),那么f(x)=g(x)．三、两个表达式不同的函数某些同变量函数值是否一定不相等？两个表达式不同的函数某些同变量函数值不相等，这是一种比较常见的错误看法．例如，f(x)=x,x∈{0,1},g(x)=x2,x∈{0,1},尽管两个函数的表达式不同，但f(0)=g(0)=0,f(1)=g(1)=1．四、复合函数y=f[g(x)]的定义域与y=f(x)的定义域一致吗？复合函数的定义域受原函数的定义域制约．已知函数y=f(x)的定义域为[a,b]，求函数y=f[g(x)]的定义域，是指求满足a≤g(x)≤b的x的取值域范围；而已知y=f[g(x)]的定义域是[a,b]，指的是x∈[a,b]．五、函数的定义域可以是空集吗？教材中指出：“设A、B是非空的数集，…”．由此，不存在定义域为空集的函数．当函数存在（给定）时，则其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在．六．用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式吗？如果有，各解析式对自变量有何限制？函数定义域如何得到？可以有两个或两个以上的解析式，这样的函数称为分段函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分，否则可能出现一个自变量的值求出两个函数值与函数定义矛盾．这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集．七．为什么说，函数的解析式和定义域给出之后，它的值域相应被确定？因为函数的定义域是自变量x的取值范围的集合，而函数解析式就是确定函数关系即定义域到值域的对应法则，在这个法则下，每一个x都有唯一的y与之对应，因此可由定义域确定值域．八．表示函数的常用方法有几种？各有什么优点？(1)表示函数的记号是y=f(x)，常用方法是解析法、列表法、图象法．（2）把函数的两个变量之间的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫做这个函数的解析表达式，简称解析式，用解析法表示函数的优点是①函数关系清楚，②给自变量一个值，可求它的函数值，③便于研究函数的性质．(3)列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系．其优点是不必计算，查表可得到自变量与函数的对应值．(4)图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系，其优点是直观形象地表示出函数值随自变量的变化规律．函数解析式在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题，这里是指已知)]([xgf或)]([xfg，求)(xf或)(xg，或已知)(xf或)(xg，求)]([xgf或)]([xfg等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习中感到棘手的问题。解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢？回答是肯定的。这类题在现行的高中数学教科书中几乎没有，但在一些二类教材如《目标测试》等书中有很多类似题，它与课本上的函数这一内容关系密切，并且具有一定的规律性，故就有一些有效的解题方法，根据本人的教学心得整理如下：一、定义法：例1：设23)1(2xxxf，求)(xf.解：2]1)1[(3]1)1[(23)1(22xxxxxf=6)1(5)1(2xx习题精选精讲265)(2xxxf例2：设21)]([xxxff，求)(xf.解：设xxxxxxff111111121)]([xxf11)(例3：设33221)1(,1)1(xxxxgxxxxf，求)]([xgf.解：2)(2)1(1)1(2222xxfxxxxxxf又xxxgxxxxxxxxg3)()1(3)1(1)1(3333故2962)3()]([24623xxxxxxgf例4：设)(sin,17cos)(cosxfxxf求.解：)2(17cos)]2[cos()(sinxxfxfxxx17sin)172cos()1728cos(.二、待定系数法：例5：已知1392)2(2xxxf，求)(xf.解：显然，)(xf是一个一元二次函数。设)0()(2acbxaxxf则cxbxaxf)2()2()2(2)24()4(2cbaxabax又1392)2(2xxxf比较系数得：1324942cbaaba解得：312cba32)(2xxxf三、换元（或代换）法：例6：已知,11)1(22xxxxxf求)(xf.解：设,1txx则11tx则xxxxxxxftf11111)1()(2221)1()1(1111)11(11222tttttt1)(2xxxf例7：设xxf2cos)1(cos，求)(xf.解：令1cos,1costxxt又0201cos2,1cos1txx即习题精选精讲3]0,2[,)1()()02(,)1()(22xxxftttf即例8：若xxxfxf1)1()(（1）在（1）式中以xx1代替x得xxxxxxfxxf11)111()1(即xxxfxxf12)11()1(（2）又以11x代替（1）式中的x得：12)()11(xxxfxf（3）)1(112121)(2:)2()3()1(23xxxxxxxxxxf得)1(21)(23xxxxxf例9：设)0,,()1()()(ba，cbacxxbfxafxf且均不为其中满足，求)(xf。解：cxxbfxaf)1()(（1）用x1来代替x，得xcxbfxaf1)()1(（2）由xbcacxxfbaba222)()(:)2()1(得xbabcacxxfba)()(222四、反函数法：例10：已知2)(21xafx，求)(xf.解：设01xat，则txalog1即1logtxa代入已知等式中，得：3log2log2)1(log)(22ttttfaaa3log2log)(2xxxfaa五、特殊值法：例11：设)(xf是定义在N上的函数，满足1)1(f，对于任意正整数yx,，均有xyyxfyfxf)()()(，求)(xf.解：由1)1(f，xyyxfyfxf)()()(设1y得：xxfxf)1(1)(即：1)()1(xxfxf在上式中，x分别用1,,3,2,1t代替，然后各式相加可得：tttttf21211)1)(2(21)(2)(2121)(2Nxxxxf六、累差法：例12：若af1lg)1(，且当),0(,lg)()1(,21Nxaaxfxfxx满足时，求)(xf.解：),0(lg)1()(1Nxaaxfxfx递推得：2lg)2()1(xaxfxf3lg)3()2(xaxfxf……………………………………2lg)2()3(affafflg)1()2(以上)1(x个等式两边分别相加，得：习题精选精讲4122lglglglg)1()(xxaaaafxf)1()2(21lg)1(xxaf12)1(2)1(lglg1lgxxxxaaaaxxlg]12)1([七、归纳法：例13：已知afNxxfxf)1()(),(212)1(且，求)(xf.解：aaffaf2124212)1(212)2(,)1(aaff202124)212(212)2(212)3(aaff312124)413(212)3(212)4(aaff422124)81213(212)4(212)5(………………………………，依此类推，得axfxx132124)(再用数学归纳法证明之。八、微积分法：例14：设2)1(,cos)(sin22fxxf，求)(xf.解：xxxf222sin1cos)(sin)1|(|1)(xxxf因此cxxdxxdxfxf221)1()()(2322112)1(ccf)1|(|2321)(2xxxxf解析式未给定函数涉及未给定解析表达式的函数的相关问题通常较难，对同学的基本数学素质要求较高，除了要掌握函数的基本性质之外，还要掌握一定的代数变形方法。本文精选几例给同学们阅读，以期提高同学们的阅读、概括能力，掌握这类问题的解决方法。【例1】函数)(xf对任意a、bR，都有1)()()(bfafbaf，并且当0x时，1)(xf。（1）求证：)(xf是R上的增函数（2）若5)4(f，解不等式3)23(2mmf。解：设1x、2x∈R，且21xx，则012xx，∴1)(12xxf。)()(12xfxf)(])[(1112xfxxxf)(1)()(1112xfxfxxf01)(12xxf。即)()(21xfxf，∴)(xf是R上的增函数。（2）)22()4(ff1)2()2(ff5，∴3)2(f。不等式3)23(2mmf即为)2()23(2fmmf，∵)(xf是R上的增函数，于是2232mm，解之得341m。【例3】已知定义在R上的函数)(xf对任意x、yR都有)()(2)()(yfxfyxfyxf成立，且方程0)(xf有最小正根c存在。习题精选精讲5求证：（1）1)0(f，且)(xf是偶函数；（2）)()2(xfcxf，且)(xf是周期函数；（3）1|)(|xf，即)(xf是有界函数。证明：（1）在条件式中令0yx，得)0()0(2)0()0(ffff解得0)0(f或1)0(f。若0)0(f，在条件式中令0y，得)0()(2)()(fxfxfxf，∴0)(xf，∴方程0)(xf的解是任意实数，与“有最小正根”矛盾，∴1)0(f。在条件式中令0x，可得)()0(2)()(yffyfyf，∴)()(yfyf。∴)(xf是偶函数。（2）∵))(())(()()2(cxcfcxcfxfxcf0)()(2cfxcf，∴)()2(xfxcf又∵)2)2(()4(ccxfcxf)()2(xfcxf，而0c，∴)(xf是周期函数。（3）假设存在0xR，有1|)(|0xf成立，则)()(200xcfxcf))()(())()((0000xcxcfxcxcf)2()2(0xfcf)()(00xxf