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ㄧ個數學解題練習系統之設計理念科學教育月刊,2003第十一卷第一期林美娟莊志洋孫鵬宗許金葉黃瀧輝盧思靜黃凱澤報告：數資研一鄭則謙大綱•摘要•緒論•文獻探討•系統設計方法與實作重點–MathCAL的數值運算核心–派特里網路理論與MathCAL解題核心–系統資料庫設計–解題診斷矯正機制大綱•系統架構與主要功能–系統架構–系統操作流程–題目編輯器•結論與未來研究方向摘要•本文描述的是一個網路化數學解題練習系統之雛形及設計理念•使用派特里網路(PetriNets)紀錄數學解題知識•使用者要求協助時，系統可將其解題過程與所儲存之專家解提之事加以比對，提供適當引導•提供網路同步與非同步溝通功能•庫存題目與各題目解法均具有擴充性緒論•培養數學解題能力是近二十年來美國數學教育所倡議的重點–學校數學課程與評鑑標準(NCTM,1989)–學校數學課程之原則與標準(NCTM,2000)–國民中學數學課程標準(教育部,2002a)•問題解決不只侷限於練習題或測驗卷，而是泛指解決日常生活中的各種問題緒論•電腦輔助教學解題系統應具有以下特色：1.分別記錄專家與學習者之解題步驟，並據以分析學習者之解題狀況2.強調解題概念的運用，而非繁瑣的運算3.擁有足夠的運算能力4.提供新增知識庫與題庫的機制5.透過網路溝通功能提供學習者之間合作的機制6.模擬紙筆解題的方式，完整呈現解題過程7.儲存學習者的學習歷程緒論•MathCAL發展過程：驗證派特里網路理論在塑模數學解題過程的可行性建構模組化系統核心以及各種互動功能研究系統解題錯誤診斷與矯正功能並完成演算法設計實作演算法並引進資料庫設計理念如何處理數學解題所必然存在的一題多解情況重新定義各種數值型態的統一儲存格式並改寫解題系統的運算核心文獻探討•數學家Polya指出，數學解題歷程包括了解問題、擬定解題計畫、執行計畫、回顧•解題過程中可能產生的問題：–無法深入了解題意以分析題目已知條件和所要求之答案–未能仔細閱讀題目內容–不知如何分析題目之已知條件和所欲求取結果之間的關連–解題過程中計算錯誤–習於聆聽老師講解解題過程，缺乏主動參予解題的歷程–練習解題過程中缺乏即時解惑的回饋以致半途而廢文獻探討•NCTM2000中，將「科技」(technology)、「平等」(equity)、「課程」(curriculum)、「教」(teaching)、「學」(learning)、「評量」(assessment)、並列為數學教育的六大原則•其中「科技」所陳述的是：科技的運用對於數學教育是不可或缺的，它可以提升學生的學習成效文獻探討•以科技工具輔助數學教學的好處：–可將抽象數學概念視覺化，針對螢幕上具象化的物件進行數學概念的觀察與討論–藉由任意操弄數據或圖形觀察其立即的變化–複雜運算由計算工具取代，使學生將時間與精力轉而做較高層次概念或模式上的思考–科技工具所具備的運算能力可進行大量資料的收集、分析、與呈現–網路豐富資源得以接觸廣泛而多樣化的題目–可提供個別化、適性化的教學，因而兼顧不同性向或不同學習成就的學生文獻探討•相關研究：依照教學理論、知識範圍、使用對象、學習目標、軟體設計方法而分類–Kieran(1996)利用電腦軟體學習代數解題–AbidinandHartlet(1998)，FunctionLab繪製代數文字題的解題想法–侯鳳秋、陳龍川(1999)，適性CAI–NakanoMurakami等人(2000)，ILE，練習設計簡單加減法應用的文字題。–Chen,Homg和Yang(2000)，國中幾何網路學習環境文獻探討•MathCAL根據數學解題所具有之特性再系統中實現了三種回饋方式：–請求幫忙：允許學習者自行操作系統於遭遇困難時自主性的向系統要求協助–賦予工具：記錄每一個解題步驟，並將其歷程分別以文字和圖形呈現在螢幕上供解題者回顧其解題過程–模仿專家：當學習者陷入解題僵局時，可將系統知識庫中所儲存之專家解法提供給學習者觀察與學習系統設計方法與實作重點•MathCAL的數值運算核心•數可以是單一的值(1、2、3)，亦可由其他數值以+、-、×、÷連接而成(、)•數系中所有的數值皆可拆解成整數配合四則運算式所表示的數值3232系統設計方法與實作重點3以二元數(BinaryTree)串接的方式來表示一個數值532以及Ex：系統設計方法與實作重點•處理任一數值前：–將數值建成一棵二元數，而二元數的建立必須依照數值中所含運算子的運算優先順序以後置(postorder)的方式表示在記憶體內部–以鏈結串列(LinkedLists)來表示二元數的資料結構，每一個節點(node)所表示的可能是整數也可能是運算子系統設計方法與實作重點•數值之間可運算類型可分為以下幾類：–整數對整數的加減乘法–整數對整數的除法–整數對有理數的四則運算–有理數對整數的四則運算–有理數對有理數的四則運算–無理數對無理數–變數對變數•無法運算類型：整數和無理數及變數、有理數和無理數及變數、無理數和變數系統設計方法與實作重點MathCAL系統中，所有等式亦是以二元樹方式儲存。解一元一次方程式時，是運用「移項法則」、「同解定理」將方程式化成最簡方程，最後再將變數的係數運用移項法則將等式化為，即可求出其解。系統設計方法與實作重點派特里網路理論與MathCAL解題核心：•派特里網路(PetriNets)是一種具有圖形化性質的正規語言，適用於塑模具有同時性特質的系統。系統設計方法與實作重點雙重有向多重圖(BipartiteDirectedGraph)系統設計方法與實作重點Step1：AB是直徑，C為切點。利用半圓內圓周角必為直角，因此三角形CAB為直角三角形。Step2：角DCB=θ，CD為切線，利用「弦切角度數等於其夾弧所對圓周角度數」得到直角三角形CAB中角A=θ。Step3：AB=26，且AB為斜邊，又知Cosθ=12/13，可得AC=24。Step4：因為Cosθ=12/13，可利用三角函數平方和關係得出Sinθ=5/13Step5：帶入直角三角形面積公式1/2*AB*AC*Sinθ得面積為120。24系統設計方法與實作重點系統設計方法與實作重點系統資料庫設計：•資料庫的使用主要目的為知識共享、儲存、擷取、分析•可利用結構化查詢語言(SQL)撰寫查詢指令以擷取資料庫中的資料。系統設計方法與實作重點解題診斷矯正機制：•學習者解題過程診斷•解題過程引導•學習者解題函式認知診斷•精熟學習引導系統設計方法與實作重點•學習者解題過程診斷–針對各種情況推斷學習者陷入僵局的可能原因–設法提醒學習者找出「題目的已知條件」、「題目的未知數」、「欲求取的答案」系統設計方法與實作重點•解題過程引導–將系統所儲存之專家解題知識與學習者的解題資料做比對，期能據以提供適當的引導–解題過程中，系統首須確定何種解題方法最適合用來引導學習者–主要考量：是否觸發某種正確解法的關鍵性解題函式–次要考量：何者所包含的使用者已觸發之解題函式數目最多、何者顯示解題者已完成最高比率之解題步驟、何者距離完成解題尚需觸發的函式數目最少系統設計方法與實作重點•學習者解題函式認知診斷–學習者一時不知下一步該朝哪個方向解題–學習者雖然熟悉某個該觸發而未觸發的函式，卻不知可將其運用於此題中–學習者並不了解某個該觸發而未觸發的解題函式系統設計方法與實作重點•精熟學習引導–提供相關函式觀念的文字與圖形，並由系統資料庫中取出適當的題目供學習者進行精熟練習，以幫助學習者熟悉該函式觀念，並進一步將其用於目前的解題步驟中。–取出精熟練習題的原則•該題目中之解題步驟必須包含學習者所欲精熟練習之函式觀念•該題之解題步驟沒有包括學習者有認知困難的其他函式觀念系統架構與主要功能•系統架構系統架構與主要功能•系統操作流程系統架構與主要功能•題目編輯器結論與未來研究方向•本文中提出以派特里網路為理論基礎所設計的一個數學解題練習系統的雛形•知識領域仍需擴充•介面仍需更加充實