不等关系与不等式 高考数学知识点总结 高考数学真题复习

§7.1不等关系与不等式2014高考会这样考1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较；2.考查和函数、数列等知识的综合应用．复习备考要这样做1.熟练掌握不等式的性质，并会正确理解和应用；2.对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧．1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔aba－b＝0⇔a＝ba－b0⇔ab(a，b∈R)；(2)作商法ab1⇔abab＝1⇔a＝bab1⇔ab(a∈R，b0)．3．不等式的性质(1)对称性：ab⇔ba；(2)传递性：ab，bc⇒ac；(3)可加性：ab⇔a＋cb＋c，ab，cd⇒a＋cb＋d；(4)可乘性：ab，c0⇒acbc，ab0，cd0⇒acbd；(5)可乘方：ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．[难点正本疑点清源]1．在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b0⇔ab，a－b＝0⇔a＝b，a－b0⇔ab，这是比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石．(2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活、准确地加以应用．(3)不等式的传递性：若ab，bc，则ac，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明ac，选择中间量b，在证出ab，cb后，就误认为能得到ac.(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由ab，cd，可以得出a＋cb＋d，但不能得出a－cb－d.2．理解不等式的思想和方法(1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化．(2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算．(3)通过复习要强化不等式“运算”的条件．如ab、cd在什么条件下才能推出acbd.(4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系．1．已知ab0，且cd0，则ad与bc的大小关系是______________．答案adbc解析∵ab0，cd0，∴adbc0，∴adbc.2．已知a0，－1b0，那么a，ab，ab2的大小关系是__________________．答案abab2a解析由－1b0，可得bb21.又a0，∴abab2a.3．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是()A．v40km/hB．v40km/hC．v≠40km/hD．v≤40km/h答案D4．(2011·浙江)设a，b为实数，则“0ab1”是“b1a”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析∵0ab1，∴a，b同号，且ab1.∴当a0，b0时，b1a；当a0，b0时，b1a.∴“0ab1”是“b1a”的不充分条件．而取b＝－1，a＝1，显然有b1a，但不能推出0ab1，∴“0ab1”是“b1a”的不必要条件．5．(2012·湖南)设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③答案D解析根据不等式的性质构造函数求解．∵ab1，∴1a1b.又c0，∴cacb，故①正确．构造函数y＝xc.∵c0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数．又ab1，∴acbc，故②正确．∵ab1，－c0，∴a－cb－c1.∵ab1，∴logb(a－c)loga(a－c)loga(b－c)，即logb(a－c)loga(b－c)，故③正确．题型一不等式性质的应用例1已知－π2αβπ2，求α＋β2，α－β2的取值范围．思维启迪：不等式性质的应用是本题的突破点．解因为－π2αβπ2，所以－π4α2π4，－π4β2π4.所以－π2α＋β2π2，－π4－β2π4.因为αβ，所以α－β20.故－π2α－β20.探究提高(1)利用不等式的性质求范围要充分利用题设中的条件，如本题中的条件αβ；(2)注意“α－β”形式，利用不等式要正确变形．已知－1x＋y4且2x－y3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．答案(3,8)解析设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，∴m＋n＝2，m－n＝－3.解得m＝－12，n＝52.∴2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)，∵－1x＋y4,2x－y3，∴－2－12(x＋y)12，552(x－y)152，∴3－12(x＋y)＋52(x－y)8，即32x－3y8，所以z＝2x－3y的取值范围为(3,8)．题型二比较大小问题例2已知a≠1且a∈R，试比较11－a与1＋a的大小．思维启迪：要判断11－a与1＋a的大小，只需研究它们差的符号．解∵11－a－(1＋a)＝a21－a，①当a＝0时，a21－a＝0，∴11－a＝1＋a.②当a1，且a≠0时，a21－a0，∴11－a1＋a.③当a1时，a21－a0，∴11－a1＋a.探究提高实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差法)的符号的判定，当解析式里面含有字母时常需分类讨论．(2012·四川)设a，b为正实数．现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b1；②若1b－1a＝1，则a－b1；③若|a－b|＝1，则|a－b|1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)答案①④解析①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，则必有a＋b1，不合题意，故①正确．②中，1b－1a＝a－bab＝1，只需a－b＝ab即可．如取a＝2，b＝23满足上式，但a－b＝431，故②错．③中，a，b为正实数，所以a＋b|a－b|＝1，且|a－b|＝|(a＋b)(a－b)|＝|a＋b|1，故③错．④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1.若|a－b|≥1，不妨取ab1，则必有a2＋ab＋b21，不合题意，故④正确．题型三不等式与函数、方程的综合问题例3已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sinx)≤f1＋2m－74＋cos2x对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域．解假设实数m存在，依题意，可得m－sinx≤4，m－sinx≥1＋2m－74＋cos2x，即m－4≤sinx，m－1＋2m＋12≥－sinx－122.因为sinx的最小值为－1，且－(sinx－12)2的最大值为0，要满足题意，必须有m－4≤－1，m－1＋2m＋12≥0，解得m＝－12或32≤m≤3.所以实数m的取值范围是32，3∪－12.探究提高不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min.已知a、b、c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．解方法一(作差法)∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.方法二(函数法)记t＝a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝a2－(b＋c)a＋b2＋c2－bc，∵Δ＝(b＋c)2－4(b2＋c2－bc)＝－3b2－3c2＋6bc＝－3(b－c)2≤0，∴t≥0对a∈R恒成立，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.不等式变形中扩大范围致误典例：(12分)已知1≤lgxy≤2,2≤lgx3y≤3，求lgx33y的取值范围．易错分析根据不等式性质先解出lgx，lgy的范围，再求lgx33y的范围，错误原因是lgx，lgy的最值不一定能同时取到，这种做法可能扩大所求范围．审题视角(1)注意已知条件1≤lgxy≤2,2≤lgx3y≤3.(2)分析lgx33y与lgxy、lgx3y的线性关系．(3)先将它们表示成lgx、lgy的线性关系．规范解答解由1≤lgxy≤2，2≤lgx3y≤3变形，得1≤lgx－lgy≤2，2≤3lgx－12lgy≤3，[2分]令lgx－lgy＝a，3lgx－12lgy＝b，解得lgx＝2b－a5，lgy＝2b－6a5.[4分]∴lgx33y＝3lgx－13lgy＝3·2b－a5－13·2b－6a5＝1615b－15a.[6分]由1≤a≤2，2≤b≤3，得－25≤－15a≤－15，3215≤1615b≤165.[9分]∴2615≤1615b－15a≤3，即2615≤lgx33y≤3.[11分]∴lgx33y的取值范围是2615，3.[12分]温馨提醒(1)此类问题的一般解法是：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围；(2)本题也可以利用线性规划思想求解；(3)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.方法与技巧1．用同向不等式求差的范围．axbcyd⇒axb－d－y－c⇒a－dx－yb－c这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2．倒数关系在不等式中的作用．ab0ab⇒1a1b；ab0ab⇒1a1b.3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商．失误与防范1．ab⇒acbc或ab⇒acbc，当c≤0时不成立．2．ab⇒1a1b或ab⇒1a1b，当ab≤0时不成立．3．ab⇒anbn对于正数a、b才成立．4.ab1⇔ab，对于正数a、b才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：ab，bc⇒ac，其中ac不能推出abbc.6．求范围问题要整体代换，“一次性”使用不等式性质，注意不要扩大变量的取值范围．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()A．ab＋1B．ab－1C．a2b2D．a3b3答案A解析由ab＋1，得ab＋1b，即ab，而由ab不能得出ab＋1，因此，使ab成立的充分不必要条件是ab＋1.2．设ab0，则下列不等式中不成立的是()A.1a1bB.1a－b1aC．|a|－bD.－a－b答案B解析由题设得aa－b0，所以有1a－b1a成立，即1a－b1a不成立．3．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lge，则()A．abcB．acbC．cabD．cba答案B解析∵0lgelg10＝12，∴lge12lge(lge)2.∴acb.4．已知p＝a＋1a－2，q＝12x2－2，其中a2，x∈R，则p，q的大小关系是()A．p≥qB．pqC．pqD．p≤q答案A解析p＝a＋1a－2＝a－2＋1a－2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝12x2－2≤12－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．所以