不等式

不等式不等式的定义┓┣不等式的概念实数大小的比较┛┃┏不等式的性质不等式的性质┫┃┗含绝对值的不等式的性质┃常用的重要不等式┓┏━━━━━━━━━┓┏不等式的同解原理┣不等式的证明不等式的解法┫证明不等式的方法┛┗━━━━━━━━━┛┗不等式的解法┃不等式的应用不等式的同解原理使不等式成立的未知数的值的集合叫做不等式的解集。不等式组中，各个不等式的解集的交集叫做不等式组的解集。如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。一个不等式（组）变形为另一个不等式（组）时，如果这两个不等式（组）是同解不等式（组），那么这种变形就叫做不等式（组）的同解变形。不等式的同解原理：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式式同解不等式;(2)不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与远不登时式同解不等式；（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式式同解不等式。返回不等式的解法各种类型的不等式，解法各不相同，但代数解法的思路基本相同。都是根据有关的定义、性质或定理，把不等式同解变形为一元一次或一元二次不等式（组）后再求解。一元一次不等式的解法一元二次不等式的解法简单的高次不等式的解法分式不等式的解法无理不等式的解法指数不等式、对数不等式的解法含绝对值的不等式的解法返回一元一次不等式的解法一元一次不等式axb和axb(其中a、b都是已知数）的解集是：返回条件解集类型a0a=0a0b0b＝0b0axb｛x︱xb/a｝空集空集R｛x︱xb/a｝axb｛x︱xb/a｝R空集空集｛x︱xb/a｝一元二次不等式的解法设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1x2，（x1x2），判别＝b2－4ac，a0时，一元二次不等式的解集是：返回条件解集类型0=00ax2+bx+c0(a0)x︱xx1或xx2x︱x∈R且x≠-b/2aRax2+bx+c0(a0)x︱x1xx2空集空集二次函数y＝ax2+bx+c(a0)的图象yx1x2xyx1＝x2xyx简单的高次不等式的解法设一元高次不等式为f（x）0(或f（x）0),如果f（x）在实数范围内能分解成若干个一次因式或不可分的二次因式的积的形式，则采用列表法或数轴表根法（也叫零点分区间法）求解较简便。用数轴表根法解高次不等式时，应注意以下几点：（1）必须将f（x）的最高次项的系数化为正数。（2）出现重根时，偶次重根切不可标在数轴上，但要检验是否为不等式的解，奇次重根作单根处理。（3）在解含“≤”或“≥”号的不等式时，要注意使等号成立的条件。返回分式不等式的解法解分式不等式一般步骤是：（1）将分式不等式转化为[f（x）/g(x)]0或[f（x）/g(x)]0的标准形式。（2）把标准形式转化为与它同解的整式不等式（组）。同解原理是：[f（x）/g(x)]0（或0）f(x)﹡g(x)0（或0)g(x)≠0[f（x）/g(x)]≥0(或≤0)f(x)﹡g(x)≥0(或≤0)（3）解整式不等式（组）返回无理不等式的解法解无理不等式常用两种方法：（1）把无理不等式转化为与它同解的有理不等式组求解。同解原理是f(x)≥0√f(x)√g(x)g(x)≥0f(x)g(x)f(x)≥0f(x)≥0√f(x)g(x)g(x)≥0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)≥0√f(x)g(x)g(x)≥0f(x)[g(x)]2（2）图象法返回指数不等式、对数不等式的解法解指数不等式与对数不等式的一般步骤是：（1）把不等式中不同底的幂或对数，化成同底数底幂或同底数底对数。（2）根据指数函数和对数函数底单调性，把指数不等式或对数不等式化为与它同解底代数不等式（组）指数不等式底同解原理是：当0a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)对数不等式底同解原理是：f(x)0当0a1时㏒af(x)㏒ag(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0a1时㏒af(x)㏒ag(x)g(x)0f(x)g(x)返回下一页(3)解代数不等式（组）解较复杂底指数不等式与对数不等式，经常用换元法，有时也可用图象法，解指数不等式，有时用取对数法。上一页含绝对值的不等式的解法把含绝对值的不等式转化为与它同解的不含绝对值的不等式（组），有三种方法：（1）平方法，同解原理：︱f(x)︱︱g(x)︱[f(x)]2[g(x)]2（2）根据绝对值的定义，推广得到的同解原理：︱f(x)︱g(x)f(x)-g(x)或f(x)g(x)︱f(x)︱g(x)-g(x)f(x)g(x)（3）分段讨论法：解含绝对值的不等式，也可以用图象法返回常用的重要不等式（1）若a∈R，则a2≥0，当且仅当a=0时等号成立（2）若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立（3）若a，b∈R＋，则（a＋b）/2≥√ab，当且仅当a＝b时等号成立（4）若a，b，c∈R＋，则a2＋b2＋c2≥3abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立（5）若a，b，c∈R＋，则（a＋b＋c）/3≥3√abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立推论：n个（n∈Z，n1）正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数即（a1+a2+…an）/n≥n√a1a2…an当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立返回证明不等式的方法┏求差比较法┏比较法┃┃┗求商比较法证明不等式的主要方法╋综合法┃┗分析法证明不等式还有数学归纳法、反证法等，适用于一些特殊的不等式的证明。例如，证明关于自然数命题的不等式，就可以试用数学归纳法。放缩代换使证明不等式的重要技巧。证明不等式时，应根据具体问题的特点，选择适当的证明方法，有时也可以综合运用这些方法证明同一个题。返回注：求商比较法把不等式的问题，转化为判断这个不等式左、右两边的商比1大或比1小的问题，这种证明的方法通常叫做求商比较法。返回求差比较法把不等式的问题，转化为判断这个不等式左、右两边差比0大或比0小的问题，这种证明的方法通常叫做求差比较法。返回含绝对值不等式的性质(1)当a0时，︱x︱a2x2ax-a或xa-a0ax︱x︱a2x2a-axa-a0ax(2)︱a︱－︱b︱≤︱a±b︱≤︱a︱+︱b︱推论：︱a1+a2+…an︱≤︱a1︱＋︱a2︱＋………＋︱an︱（n∈Z）返回不等式的应用不等式在数学中有十分广泛的应用，高中数学中，主要应用再一下三个方面：（1）方程实根的讨论解含字母系数的方程，讨论含参数的代数方程、指数方程和对数方程的实根的个数或性质，研究方程的根的分布情况等，往往归结为不等式（组）的求解问题。(2)研究函数的性质求函数的定义域、值域、判断函数的单调性等问题，一般都转化为解不等式（组）或证明不等式的问题来解决。(3)用平均值定理来求函数的最大值或最小值由平均值定理，可以得到两个重要的结论：a如果两个（或三个）正变数的和为常数，则当且仅当这两个（或三个）正数相等时，他们的积取最大值;b如果两个（或三个）正变数的积为常数，则当且仅当这两个（或三个）正数相等时，它们的和取最小值。返回不等式的定义用不等号连接两个解析式，得到的式子叫做不等式。在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边（或每一个的左边都小于右边），那么这两个不等式就是同向不等式。在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式就是异向不等式。返回实数大小的比较如果a－b是正数，那么ab如果a－b是负数，那么ab；如果a－b等于零，那么a＝b。反过来也对即：a－b0aba－b0aba－b=0a=b返回不等式的性质定理1（对称性）abba定理2（传递性）ab,bc=ac定理3ab=a+cb+c推论ab,cd=a+cb+d定理4ab,c0=acbcab,c0=acbc推论1ab0,cd0=acbd推论2ab0=anbn（n∈Z,且n1)定理5ab0=n√an√b（n∈Z,且n1)由不等式的以上性质，可以推出不等式的其他许多性质。其中最常用的是：ab，ab0=1/a1/b返回综合法利用题设和某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推倒出所要求证的不等式，这种证明的方法通常叫做综合法。返回分析法从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判断这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判断原不等式成立，这种证明的方法通常叫做分析法。返回