不等式恒成立问题

分离参数法【引入】（1）在此次考试中，我们班有同学数学分数高于140分“最高分大于140分”存在性问题（2）在此次考试中，我们班每位同学数学分数都高于70分“最低分大于70分”恒成立问题对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。max()[()]gafxmin()[()]gafx解题依据：（1）≥f(x)恒成立（2）≤f(x)恒成立()ga()ga[33]()0xfx对于任意的，，使恒成立，求k的取值范围；.k,kxxxf为实数其中例：已知函数1682【例3】设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0,求实数a的取值范围.【解题指南】解答本题可以有两条途径：(1)分a＞0,a＜0,a=0三种情况,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min＞0,从而求出a的取值范围；(2)将参数a分离得然后求的最大值即可.222a,xx＞222gxxx【规范解答】方法一：当a＞0时,由f(x)＞0,x∈(1,4)得：或或∴或或∴211fxa(x)2,aa11af(1)a220114a11f()20aa＜＜＞14a,f416a820a1a01a141a2＜＜＞1a4,3a811a1a1,a,22或＜＜或即＞当a＜0时,解得a∈Ø;当a=0时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.综上可得,实数a的取值范围是方法二：由f(x)＞0,即ax2-2x+2＞0,x∈(1,4),得在(1,4)上恒成立.令∴g(x)max=g(2)=,所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立,只要a＞即可.f1a220,f416a8201a.2＞222axx＞222211111gx2(),(,1),xxx22x41212【复习探究】【问题1】设函数2()(3)3fxmxmx①若任意，不等式恒成立，求实数取值范围；②若任意，不等式恒成立，求实数取值范围；1,3x0fx(1,3)x0fxmm0,ba241bacbac已知满足，若恒成立，求的取值范围；0zyxzxnzyyx111、已知且恒成立Nnn如果，求的最大值；若不等式x2-2mx+2m+10对满足0≤x≤1的所有实数x都成立，求m的取值范围.随堂练习2解：设122)(2mmxxxf，依题意：当10x时，0)(minxf恒成立(1)当0m时，fx在[0,1]上是增函数，因此)0(f是最小值，由012)0(0mfm解得，021m(2)当10m时，fx在mx时取得最小值由012)(102mmmfm解得，10m（3）当1m时，fx在[0,1]上是减函数，因此)1(f是最小值由02f(1)1m解得，1m综上所述，m的取值范围为),21(