初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．常见辅助线写法：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F⑵过点A作BC的垂线，垂足为D⑶延长AB至C，使BC＝AC⑷在AB上截取AC，使AC＝DE⑸作∠ABC的平分线，交AC于D⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点例1如图，AB＝CD＝1，∠AOC＝60°，证明：AC＋BD≥1。OCDAB例2(2007年北京中考）如图，已知△ABC⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB＋AC＞AD＋AE。例3已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF。∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝60°。且AD＝BE＝CF＝2。求证：S△OAB＋S△OCD＋S△OEF＜3。例4如图1，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，如果∠1＝∠2，那么∠3＝∠4。仔细阅读以上材料，完成下面的问题。如图2，设P为□ABCD内一点，∠PAB＝∠PCB，求证：∠PBA＝∠PDA。图1图2⑴集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线，将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。⑵平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将△ABC平移至△DEF。1．在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EG⊥FH，求证：EG＝FH。FDCBHGEA2．如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC。3．如图，已知△ABC的面积为16，BC＝8，现将△ABC沿直线BC向右平移a个单位到△DEF的位置。⑴当a＝4时，求△ABC所扫过的面积；⑵连接AE、AD，设AB＝5，当△ADE是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值。4．如图，AA′=BB′=CC′=1，∠AOB′=∠BOC′=∠COA′=60°，求证：34AOBBOCCOASSS。例1如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AH⊥EF，H为垂足，求证：AH＝AB。例2△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且AP＝3，CP＝2，BP＝1，求∠BPC的度数。例3已知在△ABC中，AB＝AC，P为三角形内一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC。有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转⑴边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等⑵角度能拼成的特殊角指的是180°，90°等等例4已知△ABC，∠1＝∠2，AB＝2AC，AD＝BD。求证：DC⊥AC。例5△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝AE，∠BAE＝30°，求证：BE＝CE。例6在△ABC中，E、F为BC边上的点，已知∠CAE＝∠BAF，CE＝BF，求证：AC＝AB。出现轴对称的时候可以考虑翻折，尤其注意有角平分线，有角相等或者出现特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。强调：旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将△ABC旋转或翻折至△DEF。ONMDCBAEDCBA1．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心方在O点处，并将纸板绕O点旋转，其半径分别交AB、AD于点M、N，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。2．（2008山东）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。ABCCBAE'CBADDABCFDEDEEE3．如图，P是等边△ABC内一点，若AP＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数。343PCBA4．已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，∠DAE=45°。⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。DECBA5．如图，已知等腰直角三角线ABC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E，求证：BD＝2CE。6．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB＝8，BC＝10，求EC的长。F(D)DECBA一、倍长中线法例1(北京文汇中学2009-2010期中测试题)，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB2，AC4，则AD的取值范围是___________。DCBA例2已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE。ABCDEF中点的妙用例3⑴如图1，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，点D在AB边上。连接EC，取EC中点F，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并加以证明。FDEACB图1⑵如图2，将△BDE旋转至如图位置，使E在AB延长线上，D在CB延长线上，其他条件不变，则⑴中AF，DF的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。FDACBE图2例4已知四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证EFGH为平行四边形。HGFDEACB例5如图，已知四边形ABCD中，ABCD，M、N分别为BC、AD中点，延长MN与AB、CD延长线交于E、F，求证∠BEM∠CFMEFACDMB例6已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD∠ACE=90°，连接DE，设M为DE的中点。⑴求证：MBMC；⑵设∠BAD∠CAE，固定Rt△ABD，让Rt△ACE移至图示位置，此时MBMC是否成立？请证明你的结论。EACDMBEACDMB出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法⑴倍长中线法⑵构造中位线⑶如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线例7如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC中点，求证△BMD为等腰直角三角形。AMCEDB1．在△ABC中，AB12，AC30，求BC边上的中线AD的范围。ABCD2．在△ABC中，D为BC边上的点，已知∠BAD∠CAD，BDCD，求证：ABAC。ABCD3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，M是BC中点，∠B2∠C，如图，求证：DM12ABDABC4．已知△ABC中，AC=7，BC4，D为AB中点，E为边AC上一点，且102AEDC9，求CE的长。BAEDC5．在任意五边形ABCDE中，M,N,P,Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L、分别为MN、PQ的中点，求证：KL平行且等于14AE。6．如图，已知△ABC中，ABAC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BDAB，那么CE是CD的几分之几？ABEDC7．四边形ABCD四边中点分别为E、F、G、H，当四边形ABCD满足时，EFGH为菱形；当四边形ABCD满足时，EFGH为矩形；当四边形ABCD满足时，EFGH为正方形。例1在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC与D。求证：ABBDAC。DCBA截长补短法例2ABCD是正方形，P为BC上任意一点，∠PAD的平分线交CD于Q，求证：DQAPBP。PQDCBA例3已知△ABC，∠ABC=90°，以AB、AC为边向外做正方形ABDE和ACFG，延长BA交EG于H，则BC2AH。GHFEDCBA例4AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E，EF//AC交AB于F。求证：AFFB。EABCDF补形法例5如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，已知BCCD11，DEAB3，求DCEF的值。ABCDEF例6如图所示：BCAB，ADAC，BD平分∠ABC，求证：∠A∠C180°。ABCD1．如图，在△ABC中，ABBDAC，∠BAC的平分线AD交BC与D，求证：∠B2∠CABCD已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABGF、ACDE，M是BC中点，连接AM求证：EF＝2AM且AM⊥EF。3．在△ABC中，ABAC，∠A100°，BE评分∠B交AC与E，如图，求证：AEBEBCABEC4．在△ABC中，D、E为AB、AC中点，DE与∠B的平分线交与F，如图所示。求证：AF⊥BFFABCDE5．在△ABC中，MB、NC分别是三角形的外角∠ABE、∠ACF的角平分线，AM⊥BM，AN⊥CN，垂足分别是M，N。求证：MN∥BC，MN12(ABACBC)ABCMNFE6．在△ABC中，MB、NC分别是三角形的内角∠ABC、∠ACB的角平分线，AM⊥BM，AN⊥CN，垂足分别是M，N。求证：MN∥BC，MN12(ABACBC)MABCM例1在四边形ABCD中，已知ABBCCD，∠ABC70°，∠BCD170°，求∠BAD的度数。DCBA例2如图，△ABC中，ABAC，ADBC，∠A20°，求∠DCA的度数。ABCD巧构等边例3任意△ABC，试在△ABC内找一点P，使得PAPBPC的值最小ABC例4(2000北京初二数学竞赛），在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有ADBCCEDE。求证：∠BAC100°。EDCBA例5如图所示，在△ABC中，∠B60°∠A100°，E为AC的中点，∠DEC80°，D是BC边上的点，BC1，求△ABC的面积与△CDE的面积的两倍的和。CDEBA例6如图所示，在△ABC中，∠ACB2∠ABC，P为三角形内一点，APAC，PBPC，求证：∠BAC3∠BAP。ABCP1．如图所示，在四边形ABCD中，BCCD，60BCAACD，求证：ADCDAB。2．在ABC中，ABAC，60120A，P为ABC内部一点，PCAC，120PCAA，求CBP的度数。PCBA3．在等边△ABC内有一点P，它到三个顶点A、B、C的距离分别为1、23、，求∠APB的度数。4．在凸四边形ABCD中，∠DAC30°，∠CAB20°，∠ADB50°，∠BDC30°，四边形的对角线交于点P，求证：PB=PCBDCAP5．在等腰△ABC中，∠B∠C40°，延长A