郭保军(优质课二项式定理)(1)

艾萨克·牛顿Isaacnewton(1643—1727)英国科学家。他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家。2)ba（3)(ba322333babbaa222baba？100)(ba))()((bababa))((22bbaababa2ababa3a2baba23bbabab2情景导入1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的《无穷算术》…(a+b)2＝(a+b)(a+b)=展开后其项的形式为：a2，ab，b2对(a+b)2展开式的分析这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22种，则b2前的系数为C22恰有0个取b的情况有C20种，则a2前的系数为C20考虑b(a+b)2=C20a2+C21ab+C22b2=a2+2ab+b2a2+ab+ba+b222a+2ab+bb)b)(ab)(a(ab)（a3尝试二项式定理的发现:ba23b2ab3a333223213303bCabCbaCaC03C13C23C33C考虑b尝试二项式定理的发现:b)ab)b)(ab)(a(ab)（a（44ab3a2b2a3ab4b4443342224314404bCabCbaCbaCaC14C24C44C、1nCnnC、1-nnCnb)（a探求得:44433422243144044bCabCbaCbaCaCb)（a1b)（a3b)（a333223213303bCabCbaCaC2b)（a22212202bCabCaC111101bCaCnb)（annnrr-nrn1-n1nn0nbCbaCbaCaC证明思路：an-kbk是从n个(a+b)中取k个b,n-k个a相乘得到的,knC有种情况可以得到an-kbk,(n∈N*)()nab011222nnnknkknnnnnnnCaCabCabCabCb.探究发现011222nnnnnnCaCabCab(n∈N*)12故每一项都是an-kbk的形式，这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，k=0,1,…,n;①展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数如何确定？(a+b)n是n个(a+b)相乘，因此,该项的系数为展开式中的每一项都是从nnnCbknkknnnnCabCb?knC用表示，即通项为展开式的第项。1kT1k右边的多项式叫做的展开式，其中的系数叫做二项式系数。nba)(nkCkn,,2,1,0式中的叫做二项式通项，kknknbaC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn二项式定理kknknkbaCT1通项公式011()rnnnnnnnnrrnnabCaCabbCCab定理剖析1.二项式系数规律：nn2n1n0nCCCC、、、、2.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）二项展开式中a的次数由n降到0，b的次数由0升到n.3.项数规律：二项展开式共有n+1个项4.若a=2,b=x:404132223134444444(2)2222xCCxCxCxCx则称某一项除X外的代数式为项的系数如：第二项的系数为：，二项式系数为：134232C144C061524266611(2)(2)()(2)()CxCxCxxx例1、61(2)xx求的展开式。解:61(2)xx32236012164192240160xxxxxx333424556666661111(2)()(2)()(2)()()CxCxCxCxxxx第三项的系数第三项的二项式系数实战演练第三项例2、化简:(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.0413223444444(1)(1)(1)(1)CxCxCxCxC原式4[(1)1]x4x实战演练思维拓展1.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中含x4项的系数是()A.-15B.85C.-120D.274A①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。的特点：的展开式通项rrnrnrnbabaCT1)(nba)(nnnrrnrnbbaCC222110baCbaCaCnnnnnn小结：1）注意二项式定理中二项展开式的特征2）区别二项式系数，项的系数3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项)(Nn课本习题1、2、3习题1.3A组2、3、5