任意角的三角函数(优秀课件)

紐绅中学1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba复习回顾OabMPcOabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课导入22:barOPbMPaOM其中yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan﹒baP,﹒Mo如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMP∽PMOPOPMPOOMMOPM诱思探究MOyxP(a,b)？？？OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1rOPyxxy1.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yOP),(yxx1M2.任意角的三角函数定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP那么:（1）叫做的正弦，记作，即；ysinysin（2）叫做的余弦，记作，即；cosxxcos（3）叫做的正切，记作，即。xytanxytan所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.0,1AOyxyxP,﹒)0(x使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.)0,1(AxyoP),(yx的终边说明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值.的横坐标，正切就是交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义.当的终边在横坐标等于0，xytan无意义，此时)(2zkky轴上时，点P的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.（单位圆）ysinxcosxytan)0(x例1.求的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作AOB，易知的终边与单位圆的交点坐标为13(,).22所以53sin,3251cos,325tan3.3思考：若把角改为呢?3567,2167sin,2367cos3367tan实例剖析xyo﹒﹒AB35例2.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.)4,3(0P220(3)(4)5.OP解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，),(yxP分别过点、作轴的垂线、0PMPP00PMx400PM于是，;54||1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP∽00POM;531cos00OPOMOPOMxxsin4tan.cos3yx4,30P0MOyxMyxP,5设角是一个任意角，是终边上的任意一点(不在原点），点与原点的距离.),(yxP022yxrP那么①叫做的正弦，即ryrysin②叫做的余弦，即rxrxcos③叫做的正弦，即xy0tanxxy任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.P定义推广：xyoP（x，y）r135122222yxr1312cosrx125tanxy5sin,13yr于是，巩固提高练习:1.已知角的终边过点，求的三个三角函数值.5,12P解：由已知可得：2P15,8aaaa.已知角的终边上一点R且0，sin,cos,tan求角的的值.-15,8,xaya解：由于22158170raaaa所以1017,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa20-17,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa32sin,cos,tan.yx.已知角的终边在直线上，求角的的值1解：当角的终边在第一象限时，221,2125在角的终边上取点，则r=225152sin,cos,tan2551552当角的终边在第三象限时，221,2125r在角的终边上取点，则225152sin,cos,tan2551551.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）探究三角函数定义域sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R+--+--++-+-心得:角定象限,象限定符号.例3.求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角.反之也对．0tan0sin①②证明：因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；0sin又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.0tan因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.反过来呢？如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中zk利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.？例题cossintantan.例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1)250;(2)(-);(3)(-672);(4)34（3）因为=而是第一象限角，所以)672tan(tan(482360)tan48,tan(672)0;48（1）因为是第三象限角，所以；2500250cos解：（2）因为是第四象限角，所以4sin0;420tantan()tan.(4)3o5.9π11π(1)sin148010';(2)cos;(3)tan(-).46例求下列三角函数值:92(2)coscos(2)cos;4442113(3)tan()tan(2)tan.6663解：117119cossintan363练习：求值117119cossintan363解：cos4sin12tan6363cossintan3631131322MAP(x,y)下面我们再从图形的角度认识一下三角函数．思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致？单位圆|MP|=|y|=|OM|=|x|=我们把带有方向的线段叫有向线段.(规定:与坐标轴相同的方向为正方向).MAP如右图:有向线段OM（方向是起始字母指向终止字母）与x轴的正方向相反，取负值；有向线段OA的方向与x轴的正方向相同，取正值；有向线段MP的方向与y的正方向相反，取负值。TMAP（x，y）ysinxcosTMAP（x，y）TMAP（x，y）=MPTMA（1,0）P（x，y）=OM单位圆说明：1、这是一种设计理念，使有向线段刚好等于相应的三角函数；2、有向线段的起点都在x轴上（或原点）；3、A点是单位圆与x轴的正半轴的交点。这几条与单位圆有关的有向线段分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线．统称为三角函数线.当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；ATOMMP、、当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．TMAPTMAPTMAPTMAP41.,,3例作出角的正弦线余弦线正切线.MP是正弦线OM是余弦线AT是正切线yxoMPAT例题示范例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．332（1）；（2）．例3.在0～内，求使成立的α的取值范围.23sin2aOxyPMP1P232y=21sinxyoP1P2xyoTA21030例4．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.30≤≤150解:3090或2102703tan3例3.若,试比较的大小.π0αsin,tan,2︵.解：如图，在单位圆中，设AOP=（（0，））,则AP=2PPMOAMAATOAOPT过点作于，过点作交的延长线于，.MPAT则角的正弦线为，正切线为POAPOAAOT的面积扇形的面积的面积，111222OAMPOAOAAT，即MPAT.sintan.POxyMAT巩固练习例1、54sin32sin与例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：54tan32tan与54sin32sin54tan32tan解：如图可知：ABoP2P1M2M1T例3.求函数的定义域.()2cos1faa=-OxyP2MP112x=P1.(0,2)cossintanxxxx在内使成立的的取值范围是()3(,)44A53(,)42B3(,2)2C37(,)24DCxyoMPAT32.(,)4若，则下列各式错误的是()()sincos0A()sincos0B()|sin||cos|C()sincos0DDsin0,cos0,|sin||cos|分析：xyoy=-xPM练习xyoy=-xxyoy=-xxyoMPsincos1,(0,)2MP30sincos1,(,)24PM3sincos0,(,)4xyoPM3sincos0,(,)2MPPM37sincos0,(,)247sincos0,(,2)4sincos0则322()44kkk若sincos0则3722()44kkk若sincos小结的符号问题：高考链接1.（2009全国）的值为()sin585A.22B.22C.32D.32A解析：本题主要考察诱导公式：2sin585sin(360225)sin(18045)sin4522.（2009陕西）则的值为（）tan22sincossin2cosA.0B.34C.1D.54B解析：本题考查同角三角函数的基本关系式和运算能力，以及转化与化归的思想。因故选B。2sincossin2cos2tan1221tan22+2tan23.(2007江西)若，则等于（）tan34tan3tan()A.-313B.C.313D.D解析：两角和与差的三角函数公式.小结1.2．三角函数线的定义，会画任意角的三角函数线；3.利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围.)(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(zkkkk